ΕΠΙΝΟΜΙΣ ΠΛΑΤΩΝ ΝΟΜΟΙ

Διάλογος, που έρχεται ως συνέχεια των Νόμων,με θέμα την παιδεία των ανώτατων αρχόντων,γνωστός και ως Φιλόσοφος ή Νυκτερινό Συμβούλιο.

Δραματικό πλαίσιο

Όπως και στους Νόμους , ένας ανώνυμος Αθηναίος (ο πρωταγωνιστής), ο Κλεινίας από την Κρήτη και ο Μέγιλλος από τη Σπάρτη συζητούν για τη νομοθεσία της Μαγνησίας, της νέας πόλης που πρόκειται να ιδρυθεί στην Κρήτη.

Γνησιότητακαι χρόνος συγγραφής

Το ζήτημα της γνησιότητας της Επινομίδος έχει προκαλέσει έντονο προβληματισμό στους μελετητές των πλατωνικών έργων. Για παράδειγμαοHarward, ο Taylor και ο Novotný υποστηρίζουν την αυθεντικότητά της, ενώ στην άλλη πλευρά βρίσκεται ο Tarán, που θεωρεί πολύ πιθανό να γράφτηκε από τον Φίλιππο τον Οπούντιο . Στην εν λόγω διαμάχη κομβική θέση έχει η ερμηνεία της μαρτυρίας του Διογένη Λαερτίου : ἔνιοί τε φασὶν ὅτι Φίλιππος ὁ Ὀπούντιος τοὺς Νόμους αὐτοῦ μετέγραψεν ὄντας ἐν κηρῷ. τούτου δὲ καὶ Ἐπινομίδα φασὶν εἶναι (III,37,7-9). Πάντως, ηστυλομετρική ανάλυση του Ledger υποστηρίζει την αυθεντικότητα της Επινομίδος, καθώς τη συσχετίζει με τους Νόμους. Το ίδιο πρεσβεύει και ο Altman, που τάσσεται υπέρ της οργανικής σύνδεσής της με το μεγαλύτερο έργο του Πλάτωνος. Αν η Επινομίς είναι γνήσιο πλατωνικό έργο,τότε γράφτηκε, όπως και οι Νόμοι, μετά το 360 π.Χ., στην αντίθετη περίπτωση η συγγραφή της μπορεί να πιθανότατα να οριοθετηθεί σε κάποιο διάστημα αμέσως μετά τον θάνατο του Πλάτωνος (347 π.Χ).

Βασικές θέσεις

α)Η επιστήμη των αριθμών είναι η σημαντικότερη όλων

Υπάρχει μία επιστήμη, που κάνει τον άνθρωπο πραγματικά σοφό και ενάρετο πολίτη, ικανό δηλαδή να άρχει και να άρχεται με βάση τη δικαιοσύνη (976c7-d5). πρόκειται για την επιστήμη των αριθμών, της οποίας η θεϊκή προέλευση είναι προφανής (976e1-4), αφού είναι ο ουρανός με τις περιφορές του που τη διδάσκει (977a2-b8). Χωρίς τη γνώση του αριθμού ο άνθρωπος δεν θα μπορούσε να μεταδώσει με ακρίβεια στους άλλους όσα συλλαμβάνειμε τιςαισθήσεις του ή θυμάται (977c4-7). Με την απουσία του αριθμού προκύπτει η αταξία και κάθε κακό εν γένει, είναι λοιπόν εύλογο ο άνθρωπος που δεν έχει γνώση της δύναμης του αριθμούνα απέχει από την ευδαιμονία (978a1-978b2).

«Αν δεν μάθει ποτέ κανείς το δίκαιο, το καλό, το ωραίο και όλα τα παρόμοια, αποκτώντας μια ορθή γνώμη [που θα προκύψει, εννοείται, από τη σύλληψη της αξίας του αριθμού (978b1-2)], δεν θα τα απαριθμήσει ούτε για να πείσει τον εαυτό του ούτε και κάποιον άλλον γενικότερα» (978b3-6).

β) Τα ουράνια σώματα φέρουν θεϊκές ψυχές

Τα είδη των ζωντανών όντων διαιρούνται σε πέντε κατηγορίες, που αντιστοιχούν στη φωτιά, το νερό, τον αέρα, τη γη και τον αιθέρα. Τα χερσαία, στα οποία ανήκει ο άνθρωπος, συνίστανται κυρίως από γη, ενώ τα ουράνια σώματα συνίστανται κυρίως από φωτιά. Αν συγκρίνει κανείς τις κινήσεις τους, στα χερσαία επικρατεί η αταξία, ενώ στα ουράνια η απόλυτη τάξη (981c5-982a7). Κι εφόσον για να λέγεται ένα όν ‘ζωντανό’, προϋποτίθεται η σύζευξη του σώματος και της ψυχής, ώστε το σώμα να μορφοποιηθεί από την ψυχή (981a7-9, 981b5-c2), η ανωτερότητα της ψυχής των ουράνιων σωμάτων είναι προφανής: ἄρχουσα γὰρ ἀλλ' οὐκ ἀρχομένη νομοθετεῖ (982b6-7).

«Όταν η ψυχή αποφασίζει το άριστο σύμφωνα με τις επιταγές του άριστου νου, τότε πράγματι προκύπτει, χωρίς καμία μεταστροφή, αυτό που ο νους προάγει ως τέλειο» (982b7-c2), γιατί «είναι στη φύση των αστεριών […] να διαγράφουν με τον χορό τους την ωραιότερη και μεγαλοπρεπέστερη πορεία, εξασφαλίζοντας σε όλα τα ζωντανά όντα αυτό που έχουν ανάγκη» (982e3-6).

Εναπόκειται λοιπόν στον άνθρωπο, αντιλαμβανόμενος τη δυνατότητά του να πραγματοποιεί, όπως τα αστέρια, τις καλύτερες επιλογές, να παραδεχθεί ότι μια θεϊκή ψυχή βρίσκεται εντός τους (982d3-e3).

γ) Η ανώτερη γνώση είναι ηπορεία προς την ενότητα

Η επιστήμη των αριθμών είναι η βάση για την αποκάλυψη της ενότητας.Αφού πρώτα πεισθεί κανείς (μέσω της διδασκαλίας) για την επίδραση του περιττού και άρτιου αριθμού στη φύση των όντων, μπορεί να συλλάβει, πρώτα στο γεωμετρικό και ύστερα στο στερεομετρικό πλαίσιο,το πώς εξομοιώνονταιοι φύσει ανόμοιοι αριθμοί. Έπειτα μπορεί να προβεί στον συσχετισμό των μεγεθών: να ανακαλύψει δηλαδή ότι μήκος, επιφάνεια και όγκος στηρίζονται σε μία δυναμική αναλογία, την 2:1 (990c5-991b4). Η εφαρμογή των παραπάνω αρχών στο πλαίσιο της αστρονομίας οδηγεί σε μια πολύ κρίσιμη κατάκτηση: στη γνώση της συνοχής των πάντων μέσω ενός φυσικού δεσμού (991d8-992a3). Γι’ αυτό η αστρονομία θεωρείται η οδός για την ευσέβεια (989e1-990b2), την ανώτερη αρετή (989b1-2), το προνόμιο των λίγων και εκλεκτών μελών του νυκτερινού συμβουλίου (989d2-4, 992c6-e1). θα τολμούσε κανείς να πει ότι οι γνώσεις της εγγυώνται την μετά θάνατον ευδαίμονα συνέχεια, την πορεία προς το Ένα.

«[Ο κάτοχος αυτών των γνώσεων] όντας ήδη νεκρός, δεν θα μετέχει πλέον, όπως τώρα, σε πολλές αισθήσεις, αλλά με μία μόνο μοίρα κι έχοντας γίνει ένα, ενώ ήταν πολλά, θα καταστεί ευδαίμων, σοφότατος και μακάριος» (992b4-8).

Συγγραφέας: Ηλίας Γεωργούλας

http://n1.intelibility.com/

Βιβλιογραφία

• Novotný, F. ed. Platonis Epinomis commentar iisillustrate. Πράγα, 1960.
• Tarán, L. Academica: Plato, Philip of Opus, and the pseudo-Platonic Epinomis. Φιλαδέλφεια, 1975.
• Taylor, A.E. Plato and the authorship of the 'Epinomis'. Νέα Υόρκη, 1929.
• Klibansky, R., Calogero, G., Lloyd, A.C., Taylor, A.E. Plato. Philebus and Epinomis. Νέα Υόρκη, 1956.
• Ledger, G.R. Re-counting Plato: A Computer Analysis of Plato's Style. Οξφόρδη, 1989.
• Harward, J. The Epinomis of Plato. Οξφόρδη, 1928.
• Altman, W.H.F. "Why Plato wrote Epinomis: Leonardo Tarán and the Thirteenth Book of Plato’s Laws." Polis 29 (2012)

Παλαμήδης: ο από μηχανής θεός του Τρωικού πολέμου

 «Για τα παθήματα του Παλαμήδη δεν έχεις ακούσει; 

Γιατί γι’ αυτόν όλοι συνέθεσαν ύμνους, ότι χάθηκε, επειδή φθονήθηκε από τον Οδυσσέα για τη σοφία του.» (Ξενοφώντος Απομνημονεύματα) 

Ο Παλαμήδης ήταν γιος του Ναύπλιου και της Κλυμένης ή της Ησιόνης ή της Φιλύρας, αδελφός του Οίακα και του Ναυσιδέμοντα. Ξεχώριζε για τη σοφία του και την επινοητικότητά του. Θεωρείται επίσης εφευρέτης της ναυτιλίας, των φάρων των μέτρων και των σταθμών, των νομισμάτων, την αλφαβητική γραφή καθώς και της διαίρεσης του χρόνου σε ώρες, ημέρες και μήνες, αλλά και παιχνιδιών (επιτραπέζιων και στρατηγημάτων). ..

Τα παιχνίδια αυτά ονομάζονται και του Παλαμήδους ή αθύρματα ή πεσσοί ή πεττοί. Υπήρξε ιατρός, αστρονόμος και άριστος εποποιός, αλλά όπως μας πληροφορεί το λεξικό Σουίδα και η αρχαία παράδοση, τα έπη του εξαφανίστηκαν από τους απογόνους του Αγαμέμνονος δια βασκανίαν δηλ. από ζηλοφθονία. Επινόησε τις φρυκτωρίες, τον άβακα και τα νομίσματα και την υποδιαίρεση του χρόνου. Το κάστρο του Παλαμηδίου στο Ναύπλιο πήρε το όνομά του. Οι σοφιστές τον θεωρούσαν υπόδειγμα τους και είχαν εκμεταλλευτεί όλα όσα διηγούνταν γι΄αυτόν. Παντού εμφανίζεται ως ένας από τους σοφότερους Έλληνες, γι΄αυτό και υπάρχουν χαρακτηριστικές παροιμιώδεις εκφράσεις, όπως «Παλαμήδους εξ εύρημα» , «Παλαμήδους σοφότερος» και «Παλαμήδους βούλευμα».

Οι εφευρέσεις του αυτές τον έχουν κατατάξει μεταξύ των πρώτων ευρετών όπως ονομάστηκαν μυθικά αλλά και ιστορικά πρόσωπα, θεοί και ήρωες, στους οποίους αποδόθηκαν διάφορες εφευρέσεις, όπως ο Απόλλων, ο Ήφαιστος, ο Ερμής, η Εργάνη Αθηνά, ο Λίνος, ο Δαίδαλος, ο Προμηθεύς, ο Φορωνεύς κ. ά.

 Όταν ο Παλαμήδης έφτασε στο στάδιο της εφηβείας, τον έστειλε ο πατέρας του στον Κένταυρο Χείρωνα, τον σοφό παιδαγωγό του Πηλίου, κοντά στον οποίο μαθήτευαν όλες οι γενιές των ηρώων, που το όνομα τους έμεινε αθάνατο. Το γεγονός ότι περιλαμβάνεται στον κατάλογο των διάσημων μαθητών του Χείρωνα, δείχνει ότι ο ήρωας είχε καταξιωθεί ως ισότιμος με τους πιο γνωστούς ήρωες της ελληνικής μυθολογίας. Κοντά στον Χείρωνα ο Παλαμήδης διδάχτηκε την τέχνη του πολέμου μαζί με τον Αχιλλέα, τον Νέστορα, τον Οδυσσέα τον Διομήδη, τον Αντίλοχο τον Αινεία, τον Πάτροκλο, τον Πρωτεσίλαο κ.α.

Διδάχθηκε την ιατρική, με συντροφιά τους γιους του Ασκληπιού, Μαχάονα και Ποδαλείριο. Εκτός από την χειρουργική διδάχτηκαν την χρήση των βοτάνων του βουνού, για να καταπραΰνουν τους πόνους και να γιατρεύουν τις πληγές. Επίσης ο Χείρων τους δίδαξε ακόμη την αστρονομία, τη μουσική, τη μαντική και κυνηγετική τέχνη. Μιλούσαν με θαυμασμό γι’ αυτόν και γρήγορα η φήμη του ως «πεπαιδευμένου και λογίου σοφού», εφευρετικού νου και ετοιμοπόλεμου, πέρασε τα σύνορα της Ναυπλίας.

Στο έργο «Ηρωϊκός» ο Φιλόστρατος για τον Παλαμήδη λέει τα εξής: «Ήταν αυτοδίδακτος και, όταν πήγε στον Χείρωνα, ήταν ήδη σοφός και γνώριζε περισσότερα από εκείνον. 

Πριν από τον Παλαμήδη δεν υπήρχαν οι έννοιες εποχή, ούτε κύκλος του μήνα, στον χρόνο δεν είχε δοθεί η ονομασία του έτους, δεν υπήρχαν νομίσματα, ούτε μέτρα, ούτε σταθμά, ούτε αρίθμηση, αλλά και κανένας έρωτας για τη σοφία επειδή δεν υπήρχαν ακόμη τα γράμματα. …» Για την ετυμολογία του ονόματος «Παλαμήδης» υπάρχουν διάφορες εκδοχές. Μερικοί υποστηρίζουν πως προέρχεται από το Πάλη (άμμος) + μήδος (επινόηση) = αυτός που επινοεί στην άμμο (γράφει δηλαδή πάνω στην άμμο).

Άλλοι πάλι λένε πως προέρχεται από το ρήμα παλαμάομαι = σχεδιάζω επιδέξια, μηχανεύομαι κατά τρόπο αριστοτεχνικό, επιχειρώ με επιτηδειότητα, εξυφαίνω και εφευρίσκω, δηλαδή ο «εφευρέτης, που μηχανεύεται σχέδια». Μια άλλη πάλι εκδοχή μας λέει πως προέρχεται από παλάμη + μήδομαι, αυτός που με τα έργα της χειρός του προσφέρει ευφυΐα, τέχνη, επινόημα. Αυτός συνδυάζει την πρακτική (παλάμη) με την πνευματική (μήδης) σοφία. Τέλος μπορεί να προέρχεται από το ρήμα «παλαίω» παλεύω και το «μήδομαι» σκέφτομαι, συμβουλεύω, δηλαδή «αυτός που σκέφτεται τη μάχη και δίνει συμβουλές γι´αυτήν».

Ο Παλαμήδης συμμετείχε στον Τρωικό πόλεμο όμως ο Όμηρος δεν αναφέρει καθόλου τον Παλαμήδη στα δύο έπη του. Τον συναντούμε για πρώτη φορά στα Κύπρια (αναφέρονται σε περιστατικά και ήρωες πριν από την τρωική εκστρατεία και στα εννέα πρώτα χρόνια του τρωικού πολέμου), απ΄όπου παρέλαβαν την ιστορία του και τη διαμόρφωσαν ποικιλοτρόπως οι τραγικοί Αισχύλος και Ευριπίδης, όπως φαίνεται από μερικά αποσπάσματα που έχουν σωθεί του Ναυπλίου και του Υγίνου.

Ο Ι.Κακριδής εξηγεί την σιωπή του Ομήρου από το γεγονός ότι τα ομηρικά έπη αρχίζουν με τον τελευταίο χρόνο του πολέμου. Ο Όμηρος δεν ήθελε, προφανώς να μειώσει την φήμη του Οδυσσέα. Ο Ξενοφών μαρτυρεί ότι ο Παλαμήδης τιμήθηκε, μαζί με άλλους ήρωες, από τους θεούς και στην Απολογία Σωκράτους ρητά λέγει ότι του είναι παρήγορη η συνάντηση με τον Παλαμήδη τον οποίον εξ υμνούν περισσότερο από τον Οδυσσέα που τον θανάτωσαν άδικα. Όταν τα πλοία με τα αχαϊκά στρατεύματα αναχωρούσαν για την Τροία, οι αρχηγοί της στήριξαν τις περισσότερες ελπίδες τους για νικηφόρα έκβαση της επιχείρησης στην σύνεση και ιδιοφυΐα του Παλαμήδη.

Με την αποβίβαση των Αχαιών στα Τρωικά παράλια και από τις πρώτες εχθροπραξίες, ο εφευρετικός νους, η οργανωτική και στρατηγική μεγαλοφυΐα του Παλαμήδη, κυριάρχησαν, επισκιάζοντας τους άλλους ηγέτες. Φροντίζει για το στόλο, για τα οχυρωματικά του έργα, επιθεωρεί τις φρουρές. Πρώτη του φροντίδα ήταν η κατασκευή ενός ισχυρού αμυντικού τείχους, που θα αναχαίτιζε τις επιθέσεις των Τρώων και θα εμπόδισε την πρόσβασή τους προς το μέρος που είχαν αγκυροβολήσει τα αχαϊκά πλοία.

Με τις διάφορες εφευρέσεις του, απαυγάσματα της «εντέχνου σοφίας» του, πρόσφερε παραμυθία, ψυχαγωγία και ειρηνική απασχόληση στους πολεμιστές, όταν δεν βρίσκονταν στα πεδία των μαχών, απομακρύνοντας τα δυσάρεστα επακόλουθα των επιδημιών που ενέσκηπταν στο στρατόπεδο και της απραξίας: Έριδες, κρούσματα απειθαρχίας, κρίσεις νοσταλγίας της πατρικής γης. 

Ο Παλαμήδης ήταν «ο από μηχανής θεός», η προσωποποίηση της ευρηματικότητας με μοναδική ικανότητα να δίνει την ιδανικότερη λύση και στην πιο δύσκολη κατάσταση, τόσο στο πεδίο της μάχης όσο και εκτός του πολέμου. Κάθε φορά που οι Αχαιοί συναντούσαν κάποιο δύσκολο εμπόδιο που τους έφερνε σε αδιέξοδο και άλλοτε σε απόγνωση, προσέτρεχαν στον Παλαμήδη. Και αυτός απλούστευε και το πιο δύσκολο πρόβλημα με τον δικό του ιδιοφυή τρόπο που άλλος δεν μπορούσε.

Είτε με την επινόηση μιας νέας εφευρέσεως, γέννημα της ιδιοφυΐας του, που είχε χαρακτηριστικό της την σφραγίδα της τελειότητας. Είτε με τις ιατρικές του γνώσεις αντιμετώπισε αποτελεσματικά μια θανατηφόρα επιδημία λοιμού που μάστιζε την γύρω περιοχή και απειλούσε με αφανισμό τον αχαϊκό στρατό. Με την επινόηση των φρυκτωριών εγκατέστησε ένα πρωτοποριακό για την εποχή του δίκτυο επικοινωνίας με τις Μυκήνες και αναδείχθηκε ο πρόδρομος των τηλεπικοινωνιών. άλλοτε πάλι αποθανάτιζε τις ηρωικές πράξεις που ζούσε σε έπη με συντροφιά τον μαθητή του Κόριννο, ή σκυμμένος στους άβακες, στοχαζόταν και σχεδίαζε γράμματα, αριθμούς, πεσσούς, για να κάνει καλύτερη την ζωή των ανθρώπων.

Παραμελούσε τελείως τον εαυτό του, και το μόνο που τον απασχολούσε, κυρίως στις παραμονές των μαχών, ήταν ο σχεδιασμός της, ώστε να έχει αίσια έκβαση και η σωτηρία των ανδρών. Ο Αχιλλεύς επιζητούσε να τον έχει κοντά του στις μάχες και στις εκστρατείες κατά των νησιών και των παραθαλασσίων πόλεων και χαιρόταν όταν πολεμούσαν ο ένας πλάι στον άλλον. Ανάμεσα στον Παλαμήδη και τον πιο γενναίο ήρωα του Τρωικού πολέμου είχε αναπτυχθεί μια στενή φιλική σχέση και συνεργασία. Λέγεται πως ο Παλαμήδης πολεμούσε με γενναιότητα και σύνεση, ενώ ο Αχιλλέας ήταν ασυγκράτητος και η υπερβολική ορμή του τον οδηγούσε σε αταξία.

Γι’ αυτό χαιρόταν όταν πολεμούσε μαζί του ο Παλαμήδης, διότι συγκρατούσε την ορμητικότητα του και του υποδείκνυε πως πρέπει να πολεμά. Ο Φιλόστρατος και ο Α. Σταγειρίτης, μας δίνουν μια περιγραφή του Παλαμήδη, όπως την αφηγήθηκε ο πρώτος νεκρός του Τρωικού πολέμου, Πρωτεσίλαος: «Το ύψος του ήταν σχεδόν σαν του μεγάλου Αίαντα και η ομορφιά του εφάμιλλη με του Αχιλλέα, του Αντιλόχου, του Πρωτεσίλαου, – όπως λέει ο ίδιος- και του Τρωαδίτη Εύφορβου. Είχε γένια απαλά που σχημάτιζαν σιγά σιγά βοστρύχους, μαλλιά κοντά και τα φρύδια έδιναν ευγένεια στη μορφή του, ήταν ευθύγραμμα και έσμιγαν πάνω από τη συμμετρική και καλοσχηματισμένη μύτη του. Το βλέμμα του στις μάχες ήταν σταθερά προσηλωμένο και φοβερό, στην ανάπαυλα της μάχης φιλικό και οι ματιές γεμάτες καλοσύνη λένε μάλιστα πως είχε τα μεγαλύτερα μάτια απ’ όλους τους ανθρώπους».

Λέει ακόμα ότι ο Παλαμήδης γυμνός ήταν κάτι ανάμεσα σε βαρύ και ελαφρύ αθλητή και το κεφάλι του ήταν πιο ωραίο από τους χρυσούς πλοκάμους του Ευφόρβου. Είχε ρυπαρή κόμη και αυτό οφειλόταν στο ότι κοιμόταν όπου τύχαινε, γιατί παραμελώντας τελείως τον εαυτό του, έστρεφε όλη την φροντίδα του σε πολέμους φάλαγγες και την σωτηρία του στρατού. Πολλές φορές μάλιστα σε περιόδους ανακωχής, κατασκήνωνε στην κορυφή της Ίδης, διότι οι σοφοί από τις κορυφές μπορούν να μελετούν και να κατανοούν τα ουράνια φαινόμενα. Δεν είχε ακόλουθο ούτε κάποια δούλα ούτε Τέκμησσα ή Ίφη για να τον λούζει ή να του στρώνει το κρεβάτι, αλλά όλα τα έκανε μόνος του και χωρίς τα απαραίτητα σκεύη.

Όταν κάποτε του είπε ο Αχιλλέας: «Παλαμήδη, ο κόσμος θα σε θεωρήσει αγροίκο επειδή δεν έχεις κάποιον να σε υπηρετεί», απάντησε: «Κι αυτά Αχιλλέα τι είναι;» απλώνοντας του τα δυο του χέρια». Και συνεχίζει ο Α. Σταγειρίτης στο Ωγυγία Βίβλος Γ’σελ.460: «Ο Παλαμήδης ήτο μακρόσωμος, λευκός, ξανθοκόμης και πιναροχαίτης (με ρυπαρή κόμη), επειδή δεν εφρόντιζε περί καλλωπισμού, αλλά περί πολέμου και φαλαγγών και σωτηρίας των στρατιωτών. Έμοιαζε με θηριοδαμαστή που μπορεί να ηρεμεί και να ξεσηκώνει γενναίο λιοντάρι και όλα αυτά τα έκανε χωρίς να αφήνει τη θέση του, αλλά τοξεύοντας ταυτόχρονα και προφυλασσόμενος από τα βέλη, αποκρούοντας με την ασπίδα του και καταδιώκοντας τα στίφη των εχθρών».

Τι απέγινε όμως ο Παλαμήδης; 

Ο Αχιλλεύς και ο Αίας τον τιμούσαν ως ίσο τους και είχαν συνδεθεί με στενή φιλία μαζί του. Προκάλεσε όμως το μίσος του Οδυσσέα όταν αποκάλυψε ότι η παραφροσύνη του ήταν τέχνασμα για να αποφύγει τον πόλεμο αλλά και τον φθόνο του, καθώς ο Οδυσσεύς ένιωθε μειωμένος μπροστά στη σοφία και την στρατηγική ιδιοφυΐα του Παλαμήδη στη διάρκεια του Τρωικού πολέμου. Ας τα πάρουμε όμως τα γεγονότα από την αρχή. Υπάρχουν αρκετές εκδοχές γιατί μίσησε τον Παλαμήδη ο Οδυσσέας. Είναι μια «σειρά» γεγονότων και οι ιστορίες που διηγούνται οι ποιητές είναι αρκετές. Το μίσος του Οδυσσέα για τον Παλαμήδη ήρθε σιγά-σιγά..Ας δούμε πως αυτές οι ιστορίες σκίασαν την ψυχή του Οδυσσέα και τον έφτασαν στο θόλωμα. Στην ζήλια για τον ήρωα Παλαμήδη. Μία από αυτές είναι η παρακάτω.

Κάποτε στην Τροία δηλαδή έγινε έκλειψη Ηλίου και οι στρατιώτες έχασαν το κουράγιο τους, γιατί πίστεψαν πως αυτό το θεϊκό σημάδι προδιέγραφε το μέλλον τους. Ο Παλαμήδης τους μίλησε και εξήγησε το φαινόμενο, λέγοντας ότι, καθώς η Σελήνη κινείται, συσκοτίζει τον Ήλιο και προκαλεί τη θόλωσή του· τους είπε ακόμη ότι «αν προμηνύει κάποιο κακό, αυτό σίγουρα θα το πάθουν οι Τρώες, διότι εκείνοι ξεκίνησαν την αδικία κι εμείς έχουμε έρθει ως αδικημένοι. Πρέπει λοιπόν να προσευχηθείτε στον ανατέλλοντα Ήλιο και να του θυσιάσετε λευκό πουλάρι απ’ αυτά που περιφέρονται ελεύθερα». Οι Αχαιοί παραδέχτηκαν την ορθότητα των λόγων του, κάτι που πάντα γινόταν με τον Παλαμήδη. Τότε όμως παρουσιάστηκε ο Οδυσσέας και είπε : «Για τις θυσίες και τις προσευχές και σε ποιον πρέπει να γίνουν θα μας πει ο Κάλχας, γιατί αυτά είναι θέματα της Μαντικής.

Όσα πάλι συμβαίνουν στον ουρανό και αν υπάρχει αταξία και τάξη στα άστρα, τα γνωρίζει ο Δίας, διότι αυτός τα έχει επινοήσει και τοποθετήσει στη θέση τους. Όσο για σένα Παλαμήδη, θα φανείς λιγότερο μωρολόγος αν έχεις την προσοχή σου στραμμένη στη γη αντί να λες σοφιστείες για τα ουράνια φαινόμενα».

 Ο Παλαμήδης πήρε το λόγο και είπε: «Αν ήσουν σοφός Οδυσσέα, θα καταλάβαινες ότι κανείς δεν μπορεί να πει κάτι σοφό για τα ουράνια φαινόμενα, αν δεν γνωρίζει καλύτερα τα γήινα. Δεν αμφιβάλλω πως έχεις μείνει πίσω σ’ αυτά, αφού λένε πως εσείς οι Ιθακήσιοι δεν έχετε ούτε εποχές, ούτε γη». Μετά από αυτά ο Οδυσσέας έφυγε εξοργισμένος και ο Παλαμήδης άρχισε να προετοιμάζεται για να αντιμετωπίσει το φθόνο του.

Κάποια φορά που συνεδρίαζαν οι Αχαιοί, έτυχε να πετούν γερανοί με τον συνηθισμένο τους τρόπο. Τότε ο Οδυσσέας κοίταξε τον Παλαμήδη και του είπε: «Οι γερανοί κάνουν μάρτυρες τους Αχαιούς ότι αυτοί βρήκαν τα γράμματα και όχι εσύ». Ο Παλαμήδης είπε :«Δεν βρήκα τα γράμματα, εκείνα βρήκαν εμένα. Βρίσκονταν από παλιά μέσα στον οίκο των Μουσών και χρειάζονταν άνδρα σαν και εμένα, διότι οι Θεοί τέτοια πράγματα φανερώνουν με τη μεσολάβηση σοφών ανδρών. Οι γερανοί δεν προσπαθούν να σχηματίσουν γράμματα, αλλά με το πέταγμά τους επαινούν την τάξη.»…..

Μια άλλη φορά από την Ίδη κατέβαιναν λύκοι και ορμούσαν στους νεαρούς που μετέφεραν τις αποσκευές και στα υποζύγια που ήταν γύρω στις σκηνές. Ο Οδυσσέας πρότεινε να πάρουν τόξα και ακόντια και να πάνε στην Ίδη για να κυνηγήσουν τους λύκους, όμως ο Παλαμήδης του είπε: «Οδυσσέα, ο Απόλλων χρησιμοποιεί τους λύκους ως προάγγελους λοιμού. Τους σκοτώνει βέβαια με το τόξο, όπως εδώ τα μουλάρια και τους σκύλους, όμως προηγουμένως τους στέλνει σε όσους πρόκειται να αρρωστήσουν, επειδή είναι ευνοϊκός προς τους ανθρώπους και για να τους προφυλάξει. Ας προσευχηθούμε λοιπόν στον Λύκιο και Φύξιο Απόλλωνα να απομακρύνει αυτά τα θηρία με τα τόξα του και να στρέψει το λοιμό προς τις κατσίκες, όπως λένε. Εμείς, Έλληνες, ας φροντίσουμε τους εαυτούς μας, γιατί πρέπει όσοι προσπαθούν να φυλαχτούν από επιδημίες να τρέφονται ελαφρά και να γυμνάζονται έντονα. Ιατρική βέβαια δεν κατέχω, όμως με τη σοφία όλα γίνονται κατανοητά».

Με τα λόγια τούτα εμπόδισε την αγορά κρεάτων και τους είπε να μην χρησιμοποιούν τις στρατιωτικές τροφές. Φρόντισε οι στρατιώτες να τρέφονται με ξηρούς καρπούς και άγρια λαχανικά και όλοι τον υπάκουαν, διότι ό,τι έλεγε ο Παλαμήδης το θεωρούσαν θεόσταλτο και με ισχύ χρησμού. Πράγματι η επιδημία που προέβλεψε παρουσιάστηκε, πρώτα στις πόλεις του Ελλησπόντου καθώς λένε, και μετά ενέσκηψε και στο Ίλιο. Από τους Έλληνες όμως δεν προσέβαλλε κανέναν, παρόλο που είχαν το στρατόπεδό τους σε μολυσμένη περιοχή. Για να βελτιώσει τον τρόπο ζωής και την άσκησή τους ακολούθησε την παρακάτω τακτική: Έριχνε στην θάλασσα εκατό πλοία και έβαζε τους στρατιώτες να επιβιβαστούν σε αυτά· αυτοί κωπηλατώντας συναγωνίζονταν ποιο καράβι θα περιπλεύσει ένα ακρωτήριο ή θα φτάσει σε κάποιο σκόπελο ή ποιοι από αυτούς που είχαν ξανοιχτεί στη θάλασσα θα φτάσουν πρώτοι σε λιμάνι ή ακτή.

Κατάφερε μάλιστα να πείσει τον Αγαμέμνονα να θεσπίσει έπαθλα για τους ταχύτερους ναυτικούς. Έτσι λοιπόν γυμνάζονταν διασκεδάζοντας και φρόντιζαν την υγεία τους. Τους εξηγούσε πως αφού η γη είχε μολυνθεί και βρίσκεται σ’ αυτήν την κατάσταση, είναι καλύτερη η θάλασσα και ασφαλέστερος ο θαλασσινός αέρας. Έτσι κέρδισε τον έπαινο όλων των Ελλήνων για τη σοφία του.

Σύμφωνα με τον Απολλόδωρο όταν ο στρατός των Αχαιών πεινούσε, έστειλαν τον Οδυσσέα στην Θράκη να βρει σιτάρι. Γύρισε όμως άπρακτος. Σαν τον ειρωνεύτηκε ο Παλαμήδης, ο Οδυσσέας του απήντησε ότι ούτε εκείνος θα τα κατάφερνε, όσο έξυπνος και αν ήταν. Τότε ο Παλαμήδης πήγε ο ίδιος στην Θράκη και γύρισε με μεγάλα φορτώματα σιτάρι. Αυτό που ειπώθηκε από πολλούς ποιητές όπως ο Απολλόδωρος με τη Μυθολογία του και από την χαμένη τραγωδία του Σοφοκλή, Οδυσσεύς μαινόμενος τα αποσπάσματα ότι δηλαδή κατά την εκστρατεία των Ελλήνων στην Τροία ο Οδυσσέας στην Ιθάκη παρίστανε τον τρελό και προσπαθούσε να ζέψει σε άροτρο βόδι μαζί με άλογο, και ότι φόρεσε μια σκούφια σαν εκείνη του Ηφαίστου στο κεφάλι και άρχισε να ρίχνει στο αυλάκι αλάτι αντί για σπόρο, εξαιτίας ενός χρησμού του μάντη της Ιθάκης Αλιθέρση, που είχε προφητεύσει ότι, αν πήγαινε στον πόλεμο, θα γύριζε μόνον ύστερα από είκοσι χρόνια, ολομόναχος και αγνώριστος, δεν είναι αληθές. Διότι ο Οδυσσέας πήγε με μεγάλη προθυμία στην Αυλίδα και έγινε ονομαστός στους Έλληνες για τις ικανότητές του. Λέγεται πως όλα αυτά τα ο Παλαμήδης τα αποκάλυψε μέσω του Τηλέμαχου και ότι το μίσος του Οδυσσέα ξεκίνησε από αυτό το γεγονός.

Ποιες ήταν οι ιστορίες που ρίζωσαν στα πρώτα χρόνια του Τρωικού πολέμου το απύθμενο μίσος του Οδυσσέα για τον Παλαμήδη, δεν θα είμαστε ποτέ σίγουροι. Το σίγουρο είναι η ιστορία για το πως κατέληξε ο Παλαμήδης να θανατωθεί ως προδότης. Χρησιμοποιώντας ο Οδυσσεύς τις προσφιλείς του μεθόδους της δολοπλο­κίας και της διαβολής, κατόρθωσε να τον παρουσιάσει ένοχο εσχάτης προδοσίας, με αποτέλεσμα τον ατιμωτικό και μαρτυρικό θάνατο του σοφού παλικαριού. Ας την δούμε: Κάποτε ο Οδυσσέας αιχμαλώτισε ένα δούλο που έφερνε χρυσάφι στο σύμμαχο των Τρώων, Σαρπηδόνα, τον αρχηγό των Λυκίων. Υποχρέωσε τότε το δούλο να γράψει στη γλώσσα του ένα γράμμα, στο οποίο ο Πρίαμος απευθυνόμενος στον Παλαμήδη έλεγε πως είχε στείλει όσα είχαν συμφωνήσει και πως τον ευχαριστούσε που είχε βοηθήσει τους Τρώες. Άφησε το δούλο να φύγει, αλλά έστειλε κάποιον που τον σκότωσε πριν προλάβει να απομακρυνθεί πολύ. Έστειλε μήνυμα κατόπιν στον Αγαμέμνονα πως είχε δει σημαδιακό όνειρο που του υποδείκνυε να μετακινηθεί όλος ο στρατός από τις μόνιμες εγκαταστάσεις του σε άλλη θέση για στρατιωτικές ασκήσεις. Στο διάστημα που έλειπε ο στρατός, ο Οδυσσέας έβαλε κάποιον να θάψει το χρυσάφι που πήρε από το δούλο στη σκηνή του Παλαμήδη.

Όταν βρέθηκε το πτώμα του δούλου και διαβάστηκε η επιστολή που ήταν γραμμένη στη γλώσσα του, κινήθηκαν, όπως ήταν φυσικό, υποψίες εναντίον του Παλαμήδη. Για να ξεκαθαρίσουν τα πράγματα, διέταξε ο Αγαμέμνονας, με υπόδειξη φυσικά του Οδυσσέα, να γίνει έρευνα στη σκηνή του Παλαμήδη. Το χρυσάφι που βρέθηκε θαμμένο εκεί αποτελούσε αδιάσειστη απόδειξη της ενοχής του ήρωα. Συγκροτήθηκε αμέσως δικαστήριο που τον κήρυξε ένοχο προδοσίας και τον καταδίκασε σε θάνατο δια λιθοβολισμού, χωρίς να του επιτρέψουν το στοιχειώδες δικαίωμα να υπερασπισθεί την αθωότητα του. Μόνο ο στρατός του Αγαμέμνονα και του Οδυσσέα παρατάχθηκε για τον λιθοβολισμό του Παλαμήδη. Οι άλλοι άνδρες αρνήθηκαν να πάρουν μέρος και παρακολουθούσαν με την ψυχή πλημμυρισμένη από οργή και θλίψη για την ανόσια πράξη.

Η άκρατη φιλαρχία του Αγαμέμνονα και ο φόβος απώλειας της εξουσίας, το σκοτάδι της ψυχής, η πανουργία και η προσφιλής συνήθεια του Οδυσσέα να εξ υφαίνει υποχθόνια τεχνάσματα για να εξοντώνει τους καλύτερους του, με συνεργό το φθονερό Διομήδη, σε μια ανίερη συμμαχία, είχαν υπερισχύσει μπροστά στην αρετή, την πνευματική υπεροχή και την καθαρότητα της σοφίας του Παλαμήδη. Έτσι αναπολόγητος ο αθώος σοφός ήρωας, μετά από τις τόσες υπηρεσίες που πρόσφερε σε ηγεμόνες και στρατό, οδηγήθηκε στον τόπο του θανάτου, σπιλωμένος από την επαχθή κηλίδα του προδότη. Λέγεται ότι τα τελευταία του λόγια, απευθυνόμενος στον Οδυσσέα, ήταν: «Σε λυπάμαι αλήθεια, γιατί εσύ χάθηκες πριν από εμένα» (ελεώ σε, αλήθεια, συ γαρ εμού προαπόλωλας).

Ο Παλαμήδης μπροστά στον Αγαμέμνονα. Πίνακας του Ρέμπραντ, 1626 Ο Ξενοφών μαρτυρεί ότι ο Παλαμήδης τιμήθηκε, μαζί με άλλους ήρωες, από τους θεούς και στην Απολογία Σωκράτους ρητά λέγει ότι του είναι παρήγορη η συνάντηση με τον Παλαμήδη τον οποίον εξ υμνούν περισσότερο από τον Οδυσσέα που τον θανάτωσαν άδικα. Ο σοφώτατος των Ελλήνων, Σωκράτης, στην Απολογία του αναφέρει: «Εγώ πάντως πολλές φορές θα ήθελα να πεθάνω αν όλα αυτά αληθεύουν, γιατί σ’ εμένα τουλάχιστον, φαίνεται θαυμαστή η παραμονή σε μέρος που θα μπορούσα να συναντήσω τον Παλαμήδη, τον Αίαντα τον Τελαμώνιο και όσους άλλους από τους παλιούς πέθαναν από άδικη κρίση, και να συγκρίνω τα παθήματά μου με τα δικά τους. Νομίζω πως κάθε άλλο παρά δυσάρεστα θα μου ήταν όλα αυτά». 

Ο Φιλόστρατος στο βιβλίο Δ΄ αναφέρει ότι ο Απολλώνιος κατά την παραμονή του στο Ίλιο καλεί την ψυχή του Αχιλλέα για να του απευθύνει ορισμένες ερωτήσεις. Η Πέμπτη ερώτηση του Απολλώνιου προς τον Αχιλλέα ήταν : «Τί συνέβη και ο Όμηρος αγνοεί τον Παλαμήδη ή μήπως τον γνώριζε και τον κράτησε έξω από την ιστορία σας;» Η απάντηση του ήρωα Αχιλλέα ήταν : «Αν ο Παλαμήδης δεν ήρθε στην Τροία, τότε ούτε η Τροία υπήρξε ποτέ. Επειδή όμως ο σοφότατος και πολεμικότατος αυτός άνδρας πέθανε εξαιτίας του Οδυσσέα, ο Όμηρος δεν τον αναφέρει για να μην αναφέρει τις ντροπές του Οδυσσέα.»

Αφού τον θρήνησε ο Αχιλλέας ως τον σπουδαιότερο και ομορφότερο, τον νεώτερο και συνάμα τον πιο αξιοπόλεμο άνδρα, αυτόν που ξεπερνούσε όλους σε σωφροσύνη και συχνά συναντιόταν με τις Μούσες, είπε στον Απολλώνιο : «Εσύ, Απολλώνιε, επειδή οι σοφοί υποστηρίζουν ο ένας τον άλλο, φρόντισε τον τάφο του και αναστήλωσε το άγαλμα του Παλαμήδη που είναι παραπεταμένο. Βρίσκεται στην Αιολίδα, στη Μήθυμνα της Λέσβου (το σημερινό Μόλυβο).» Στό Κεφ. ΧΙΙΙ ο Απολλώνιος φεύγοντας με καράβι από το Ίλιο αποβιβάζεται στη Μήθυμνα της Λέσβου. 

Αναφέρει ο Απολλώνιος : «Ο Αχιλλέας λέει είπε ότι κάπου εκεί κοντά κείτεται ο Παλαμήδης και υπάρχει άγαλμα του με ύψος ενός πήχη που παριστάνει ωστόσο κάποιον μεγαλύτερο στην ηλικία από τον Παλαμήδη. Έλληνες, ας φροντίσουμε έναν ενάρετο άνδρα που του οφείλουμε κάθε σοφία. Θα αποδειχθούμε καλύτεροι από τους Αχαιούς, τιμώντας για την αρετή του αυτόν που εκείνοι τελείως άδικα σκότωσαν.» Ο Απολλώνιος βρήκε τον τάφο και το άγαλμα θαμμένο κοντά στον τάφο. Στη βάση του αγάλματος υπήρχε η επιγραφή «ΣΤΟΝ ΘΕΪΚΟ ΠΑΛΑΜΗΔΗ». Ο Απολλώνιος έστησε το άγαλμα όρθιο και ίδρυσε εκεί ιερό κάνοντας την εξής ευχή : «Παλαμήδη, μακάρι να ξεχάσεις την οργή που είχες κάποτε προς τους Αχαιούς και κάνε να πληθύνουν και να γίνουν σοφοί. Καν’ το Παλαμήδη, δημιουργέ της ευφράδειας, των Μουσών και του ίδιου μου του εαυτού».

Η έρευνα έγινε από την Γιώβη Βασιλική – Πληροφορίες και αποσπάσματα για το άρθρο συλλέχθησαν από αναφορές για τον Παλαμήδη των: Ιωάννης Κ. Μπίμπης, «Αργολικά Παλαμήδης», Προοδευτικός Σύλλογος Ναυπλίου «Ο Παλαμήδης/ ΑΡΓΟΛΙΚΗ ΑΡΧΕΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ /http://taletos3.blogspot.gr/βικιπαίδεια/ Γοργίας, Υπέρ Παλαμήδους Απολογία/Βιργίλιος, Αινειάδα/Οβίδιος, Μεταμορφώσεις/ Απολλόδωρος , Επιτομή/ Ιωάννης Κακριδής, Ελληνική μυθολογία/Φιλόστρατος«Τα ες τον Τυανέα Απολλώνιο»

https://kataggeilte.blogspot.com/

"Ο Ύμνος του Πρόκλου στον Πλάτωνα και η μοίρα της πλατωνικής φιλοσοφίας ανά τους αιώνες"

Μικρό αφιέρωμα μνήμης στον μεγάλο φιλόσοφο, Πλάτωνα.

Mε αφορμή τον μήνα των γενεθλίων του, τον Μάϊο (Θαργηλιών), με ένα υπέροχο κείμενο από την "Πλατωνική Θεολογία" του νεοπλατωνικού φιλοσόφου Πρόκλου:
«Ἃπασαν μὲν τὴν Πλάτωνος φιλοσοφίαν,
ὦ φίλων ἡμῶν εμοὶ φίλτατε Περίκλεις,
καὶ την ἀρχὴν ἐκλάμψαι νομίζω κατὰ τὴν τῶν κρειττόνων ἀγαθοειδῆ βούλησιν,
τὸν ἐν αὐτοῖς κεκρυμμένον νοῦν καὶ τὴν ἀλήθειαν τὴν ὁμοῦ τοῖς οὖσι συνυφεστῶσαν ταῖς περὶ γένεσιν στρεφομέναις ψυχαῖς,
 καθ’ὃσον αὐταῖς θεμιτὸν τῶν οὓτως ὑπερφυῶν καὶ μεγάλων ἀγαθῶν μετέχειν,
ἐκφαίνουσαν,
καὶ πάλιν ὓστερον τελειωθῆναι καὶ ὣσπερ εἰς ἑαυτὴν ἀναχωρήσασαν καὶ τοῖς πολλοῖς τῶν φιλοσοφεῖν ἐπαγγελομένων καὶ «τῆς τοῦ ὂντος θήρας» ἀντιλαμβάνεσθαι σπευδόντων ἀφανῆ καταστᾶσαν,
αὖθις εἰς φῶς προελθεῖν· διαφερόντως δὲ οἶμαι τὴν περἰ αὐτῶν τῶν θείων μυσταγωγίαν «ἐν ἀγνῶ βάθρῳ»
 καθαρῶς ἱδρυμένην καὶ παρ’αὐτοῖς τοῖς θεοῖς διαιωνίως ὑφεστηκυῖαν ἐκεῖθεν τοῖς κατὰ χρόνον αὐτῆς ἀπολαῦσαι δυναμένοις ἐκφανῆναι δι’ἑνὸς ἀνδρὸς,
ὃν οὐκ ἂν ἁμάρτοιμι τῶν ἀληθινῶν «τελετῶν»,
ἃς «τελοῦνται» χωρισθεῖσαι τῶν περὶ γῆν τόπων αἱ ψυχαὶ,
καὶ τῶν «ὁλοκλήρων καὶ ἀτρεμῶν φασμάτων» ὧν μεταλαμβάνουσιν αἱ τῆς εὐδαίμονος καὶ μακαρίας ζωῆς γνησίως ἀντεχόμεναι,
προηγεμόνα καὶ ἱεροφάντην ἀποκαλῶν.»
(«Πρόκλου Πλατωνικοῦ Φιλοσόφου Περί τῆς κατὰ Πλάτωνα Θεολογίας Α΄», α΄ 5-6, εκδ. H.D. Saffrey-L.G. Westerink).

Απόδοση

(Ολόκληρη η φιλοσοφία του Πλάτωνος και η απαρχή της,
νομίζω, φίλτατέ μου Περικλή,
ότι ακτινοβόλησε σύμφωνα με την αγαθοειδή βούληση των θεών,
εφόσον αποκαλύπτει τον νου που είναι κρυμμένος μέσα τους και την αλήθεια που έλαβε υπόσταση μαζί με τα <νοητά όντα>,
μέσα στις ψυχές που στρέφονται γύρω από τον κόσμο της γενέσεως,
καθόσον είναι θεμιτό σε αυτές να μετάσχουν σε τόσο θαυμάσια και μεγάλα αγαθά· και πάλι, αργότερα,
<νομίζω ότι ολόκληρη η φιλοσοφία του Πλάτωνος και η απαρχή της>,
αφού έφθασε στην τελειότητά της και αφού επέστρεψε,
κατά κάποιον τρόπο, στον εαυτό της και,
αφού έγινε αφανής στους περισσότερους από αυτούς που διακήρυσσαν ότι είναι φιλόσοφοι και έσπευδαν να ασχοληθούν με το «κυνήγι του όντος»,
ήρθε ξανά στο φως· νομίζω, όμως, ότι, ειδικότερα,
η μυστική διδασκαλία για τα ίδια τα θεία, η οποία είναι με αγνό τρόπο εγκαθιδρυμένη σε «ιερό βάθρο» και έχει λάβει την υπόστασή της από τους ίδιους τους θεούς μέσα στους αιώνες, από εκεί αποκαλύφθηκε μέσα στον χρόνο, γιά όσους μπορούν να την απολαύσουν, μέσω ενός ανθρώπου,
για τον οποίον δεν θα έσφαλλα, αν τον αποκαλούσα αρχηγό και ιεροφάντη των αληθινών «μυσταγωγιών»,
οι οποίες τελετουργούνται,
αφού οι ψυχές αποχωρισθούν τους γήϊνους τόπους καθώς και των «τελείων και ήρεμων οραμάτων»,
στα οποία μετάσχουν αυτές <οι ψυχές>, που έχουν προσηλωθεί ανυπόκριτα σε μία ευδαίμονα και μακάρια ζωή.)

(Απόδοση: Άννα Χ. Μαρκοπούλου, 21-05-2017).

https://www.fryktories.net/

ΟΛΑ για τον «χρυσό» αριθμό Φ - Το Σύμπαν υποκλίνεται Φ = 1,618 στον αριθμό της "Θείας Αναλογίας"

⍆Ο χρυσός αριθμός φ , ανιχνεύθηκε για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες...
οι οποίοι παρατήρησαν ότι όλα πάνω στην γη, από τα φυτά μέχρι το ίδιο το ανθρώπινο σώμα, αναπτύσσονται βάσει μίας αναλογίας.


Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα.

Η σκέψη του ήταν πως αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο τομής να το τέμνει ασύμμετρα έτσι ώστε το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος προς όλο το μήκος του τμήματος να είναι ίσο με το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μήκος του μικρότερου,τότε ο λόγος τους φανερώνει κάποιους είδους αναλογία.

Υπέθεσε ότι υπάρχει ένα τμήμα ΑΒ. Τέμνοντάς το σε δύο μέρη τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους στο σημείο Γ, δημιουργούνται δύο ευθύγραμμα τμήματα.

Έστω ότι ΑΓ&ΒΓ τότε ΑΒ/ΑΓ=ΑΓ/ΒΓ. Το σημείο τομής Γ δίνει την χρυσή αναλογία γιατί ο λόγος των ΑΒ/ΑΓ και ΑΓ/ΒΓ δίνει αποτέλεσμα 1.618 που είναι και ο χρυσός αριθμός φ. Ο αριθμός αυτός φανερώνει την αρμονία που διακατέχει ένα αντικείμενο το οποίο εξετάζεται.

Είναι ο μοναδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει η σχέση φ =φ+1 και φ=1+√5/2.

Η κυριότερη διαπίστωση είναι ότι το αποτέλεσμα είναι άρρητος αριθμός. Αυτό δείχνει ότι δεν είναι δυνατόν ένα μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα να χωράει σε ένα μεγαλύτερό του ακριβώς.

Συνεπώς υπάρχουν και κάποιοι αριθμοί που η λειτουργία τους είναι έξω από το ανθρώπινα αντιληπτό και πεδίο ορισμού τους είναι το ιδεατό.

Έτσι ανακαλύφθηκε και η έννοια της ιδέας,την οποία ερεύνησε ο Πλάτων και διατύπωσε την θεωρία των ιδεών.

Είναι φανερό ότι ήξεραν τα πάντα για την χρήση του αριθμού φ γιατί και το πεντάγραμμα που ήταν το σύμβολο της σχολής των πυθαγορείων υπόκειται σε αυτή την αναλογία.

Ο «χρυσός» αριθμός Φ

Ο Πυθαγόρας πρώτος παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία, αλλά σύμφωνα με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες. Δεν είναι τυχαία δηλαδή τα όμορφα σχέδια των λουλουδιών.

Οι αρχαίοι Έλληνες βρήκαν ότι τα σχέδια των λουλουδιών βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία. Επίσης η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο.

Εμφανίζεται ακόμα και στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίους των κορμών τους.

Με τις πράξεις που έκανε ο Ιταλός μαθηματικός Fibonacci, ο οποίος ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται και σήμερα, βρήκε ότι το κλειδί της ομορφιάς είναι η αναλογία 1 προς 1,618, ο αριθμός Φ.

Για παράδειγμα, η σχέση από το πάτωμα ως τον ομφαλό και από εκεί στο κεφάλι θα είναι 1 προς Φ, αν οι αναλογίες είναι ιδανικές.

Σχέση των αναλογιών στο σώμα μας και την χρυσή τομή.

Ο αρχιτέκτονας Le Corbusier (1887-1965) κατασκεύασε μια κλίμακα αναλογιών που ονόμασε Le Modulor, η οποία βασίζεται στο ανθρώπινο σώμα. Σύμφωνα με αυτή, ο ομφαλός διαιρεί το ανθρώπινο σώμα σε λόγο χρυσής τομής.

Προχωρώντας σε λεπτομε-ρέστερα σημεία του ανθρωπίνου σώματος μπορούμε να παρα-τηρήσουμε και άλλες διαιρέσεις σε χρυσό λόγο.

Για παράδειγμα ο καρπός διαιρεί το χέρι από τον αγκώνα και κάτω σε λόγο χρυσής τομής, ενώ αν παρα-τηρήσουμε τις φάλαγγες του δείκτη μας, φαίνεται πως καθεμιά βρίσκεται σε χρυσή αναλογία με την επόμενή της. (παρατηρήστε τους αριθμούςFibonacci στις μετρήσεις)

Η χρυσή αναλογία, όπως φαίνεται και στις φωτογραφίες, εμφανίζεται στις αναλογίες των δοντιών μας, του αυτιού μας αλλά και σε πολλές άλλες λεπτομέρειες του προσώπου μας όπως είναι τα χείλη, τα μάτια ή ακόμα και η μύτη.

Προσέξετε ιδιαιτέρως την χρυσή σπείρα που εμφανίζεται στο εικονιζόμενο αυτί.

Το σχεδιάγραμμα δίπλα είναι ένα καρδιογράφημα σε στιγμή ηρεμίας. Για τους γιατρούς είναι μία ιδιαίτερα ικανοποιητική ένδειξη όταν το διάστημα μεταξύ δύο οξέων επαρμάτων R διαιρείται σε λόγο χρυσής τομής από ένα έπαρμα Τ. (το κόκκινο βέλος στο διάγραμμα)

Επίσης, το πλάτος του στόματος είναι Φ φορές το πλάτος της μύτης.

Ο Χρυσός αριθμός θεωρούταν από τους αρχαίους Έλληνες ως η θεϊκή αναλογία όπου η εφαρμογή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα και κατασκευές οδηγούσε σε «άριστα» και «ωραία» αποτελέσματα.

Μετά από πάρα πολλά χρόνια ο Fibonacci ανακάλυψε μία ακολουθία αριθμών που είχαν την ιδιότητα να εμφανίζουν την χρυσή αναλογία.

Είναι η ακολουθία α =α +α . Για να προκύψει νέος αριθμός θα πρέπει να προστεθούν μεταξύ τους οι δύο προηγούμενοι με μοναδικό περιορισμό ότι για τον πρώτο αριθμό της ακολουθίας (α )δεν ισχύει η σχέση και για τον δεύτερο ισχύει α =2α .

Ξεκινώντας από το 1 η ακολουθία είναι 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657 και συνεχίζει επ’ άπειρον.

Αν χ=α /α τότε παρατηρείται το εξής:Για α =1 χ=1/1=1,για α =1 και α =2 χ=2/1=2,για α =2 και α =3 χ=3/2=1.5, για α =3 και α =5 χ=5/3=1.67, για α =5 και α =8 χ=8/5=1.6 και από εκεί και πέρα για οποιαδήποτε διαίρεση μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας όσο η ακολουθία προχωρά τόσο το αποτέλεσμα συγκλίνει όλο και με μεγαλύτερη ακρίβεια στον χρυσό αριθμό, το 1.618.

Ομοίως και για οποιαδήποτε άλλη ακολουθία με σημείο εκκίνησης οποιονδήποτε αριθμό.

ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ

Το Φ στην αρχιτεκτονική

Η πρόσοψη του Παρθενώνα αποτελεί ένα παράδειγμα χρήσης της χρυσής τομής(Φ) στην αρχιτεκτονική. Δεν είναι γνωστό όμως αν οι αναλογίες δόθηκαν διαισθητικά ή με γνώση του αριθμού Φ.

Ο τριγωνισμός, μια άλλη μέθοδος συγκρότησης ρυθμικών καμβάδων με βάση ορισμένα προνομιούχα τρίγωνα, γνώρισε τη μεγαλύτερη διάδοσή του τον περασμένο αιώνα.

Αυτά είναι: (1)το πυθαγόρειο, δηλαδή το ορθογώνιο με σχέση πλευρών 3:4:5, (2) το αιγυπτιακό, δηλαδή το ισοσκελές με αναλογία βάσης προς ύψος 8:5, (3) το ισοσκελές με γωνία κορυφής 36 μοίρες, που αποτελεί τη μονάδα του κανονικού δεκαγώνου, και έχει σχέση πλευράς προς βάση Φ (1,618, ο γνωστός χρυσός αριθμός) και τέλος (4) το ισόπλευρο, που αποτελεί τη μονάδα του εξαγώνου.

Τέτοιες μεθόδους επαλήθευσης συναντά κανείς στα αρχιτεκτονικά έργα του μοντέρνου κινήματος, Le Corbusier, Bauhaus κλπ.

Το Φ στην τέχνη

Αργότερα ο Leonardo Da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Lisa ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιο και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια.

Κατά την Αναγέννηση οι καλλιτέχνες άρχισαν να επιστρέφουν στα κλασσικά θέματα της αρχαιότητας για τις εμπνεύσεις τους και τις τεχνικές τους.

Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να αναφέρουμε τους Michelangelo (1475-1564) καιRaphael (1483-1530) οι οποίοι επανέφεραν στις συνθέσεις τους την χρυσή τομή.

Ο ομφαλός διαιρεί το σώμα του Δαβίδ του Michelangelo σε λόγο χρυσής τομής.

Η πιο πρόσφατη αναζήτηση για μία «γραμματική» στην τέχνη οδήγησε μοιραία τους σύγχρονους καλλιτέχνες στην χρήση της χρυσής τομής.

Η Παρέλαση του Γάλλου νέο-ιμπρεσιονιστή καλλιτέχνη Seurat (1859 – 1891), που χαρακτηρίζεται από το γνωστό του στυλ με τις άπειρες κουκκίδες, περιέχει πλήθος παραδειγμάτων χρυσών αναλογιών.

Σύμφωνα με έναν εμπειρογνώμονα τέχνης, ο Seurat «επιτέθηκε σε κάθε καμβά του με τη χρυσή αναλογία».

Τα χρυσά ορθογώνια είναι πολύ εμφανή στους Λουόμενούς του.

Ο Μυστικός Δείπνος του Salvador Dali (1904-1989) πλαισιώνεται από ένα χρυσό ορθογώνιο.

Χρυσοί λόγοι χρησιμοποιήθηκαν για να καθορίσουν την θέση κάθε φιγούρας ενώ ο θόλος του δωματίου σχηματίζεται από τις έδρες κανονικού δωδεκάεδρου που όπως είδαμε είναι ένα από τα στερεά που συνδέεται άμεσα με την χρυσή τομή.

Μουσική

Να αναφέρουμε τέλος πως και η μουσική δεν έμεινε ανεπηρέαστη από την χρυσή τομή.

Αγνοούμε όμως αν αυτό έγινε συνειδητά ή ασυνείδητα.

Παρατηρούμε και εδώ στα έργα των μεγάλων συνθετών όπως του Μότσαρτ ή του Μπετόβεν να υπάρχει μία διαίρεση των συνθέσεων σε λόγους χρυσής τομής.

Για να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, ας δούμε ένα παράδειγμα από την Πέμπτη συμφωνία του Μπετόβεν:

Το περίφημο μοτίβο της διαιρεί την πρώτη πράξη, όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχεδιάγραμμα, σε λόγο χρυσής τομής. Τα μέτρα που αναφέρονται είναι μουσικά μέτρα.



Βλέπουμε την πρώτη πράξη να αποτελείται από το μοτίβο (5 μέτρα), ένα μουσικό τμήμα 372 μέτρα, ξανά το μοτίβο, ένα τμήμα 228 μέτρα και ολοκληρώνεται με το μοτίβο. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τον λόγο του Χ μουσικού τμήματος προς το Υ, θα έχουμε:


Ο Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη χρυσή τομή, τον αριθμό φ, αν και υπάρχει σημαντική διχογνωμία για το κατά πόσο αυτό έγινε σκόπιμα.

Το Φ στη Γεωμετρία των Fractals

Ένας καλλιτέχνης του 15ου αιώνα που παρήγαγε ένα fractal αντικείμενο. Θεωρούμε ένα κανονικό πεντάγωνο και στην κάθε πλευρά του ας προσαρτήσουμε από άλλο ένα ίδιο κανονικό πεντάγωνο.

Με τον τρόπο αυτόν δημιουργούνται μέσα έξι νέα πεντάγωνα στα οποία εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία λαμβάνουμε ένα fractal απίστευτο για την εποχή του.

Από υπολογισμούς μπορούμε να δούμε ότι ο λόγος των πλευρών κάθε ισοσκελούς τριγώνου βρίσκεται στη χρυσή τομή.

Το Φ στη Βίβλο του Ισλάμ

Η λέξη Κοράνι, πιο σωστά στα Αραβικά Κουράν - Qur'an, προέρχεται από το ρήμα κάρα'α - qara'a που σημαίνει, απαγγέλλω κι αποτελείται από 114 κεφάλαια (Σούρα).

Ο αριθμός 114 είναι διαιρετέος με το 19, ήτοι 19*6=114.

Το 114 προκύπτει από τη διαίρεση του κύκλου με το π, ήτοι 360/π, όπου π=3,14159 και το 19 εκτός του ότι είναι ο Μετωνικός Αριθμός, προκύπτει επίσης σαν δεκαπλάσιο του π/Φ, όπου Φ=1,618034

Το Φ στον άνθρωπο

Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε αναλογίες Φ.
Δεν είναι τυχαίο ότι πολλές «ανατολίτικες θρησκείες» και κινήματα στα πλαίσια της διδασκαλίας τους για διαλογισμό και την «αυτοσυγκέντρωση και στο λεγόμενο «γιόγκα» η στάση του ανθρώπινου σώματος γίνεται κατά αυτό τον τρόπο έτσι ώστε τα «κεντρικά - κομβικά» σημεία του σώματος να βρίσκονται σε αναλογίες Φ.

Αν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκεί να κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα το σχήμα της οποίας είναι ακριβώς αυτό.

Τέλος υπάρχουν καταγραφές που μιλούν για την ύπαρξη του Φ στην δομή του DNA.

Η χρήση του αριθμού φ στην αρχαιότητα είναι εντυπωσιακή. Στον Παρθενώνα από τα αετώματα και τα σκαλίσματα σε αυτά μέχρι τα κιονόκρανα, στο αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου, σε όλα τα αγάλματα, στις Πυραμίδες της Αιγύπτου που ακολουθούν την δομή ισοσκελούς τριγώνου.

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τα Μαθηματικά στην τέχνη.

Είναι σχεδόν βέβαιο ότι απέδιδαν μαγικές ιδιότητες στην χρυσή τομή – χρυσό λόγο και τους έκαναν χρήση στο χτίσιμο των μεγάλων πυραμίδων.

Εάν τμήσουμε κάθετα την μεγάλη πυραμίδα της Γκίζας, θα πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ονομαζόμενο Αιγυπτιακό Τρίγωνο.

Ο λόγος του ύψους της παράπλευρης επιφάνειας της πυραμίδας (υποτείνουσα του τριγώνου) προς την απόσταση της πλευράς από το κέντρο (μισή πλευρά της βάσης ) είναι 1,61804… που διαφέρει από τον αριθμό στο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο.

Αυτό σημαίνει ότι αν η πλευρά της βάσης είναι 2 μονάδες μήκους, τότε το ύψος ενός από τα τέσσερα τρίγωνα που απαρτίζουν την παράπλευρη επιφάνεια της πυραμίδας είναι, ενώ το ύψος της πυραμίδας είναι Ö, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχεδιάγραμμα.

Φυσικά η επιρροή του λόγου χρυσής τομής ήταν τεράστια σε όλο τον αρχαίο ελλαδικό χώρο.

Οι αρχαίοι Έλληνες κατασκεύαζαν σχεδόν όλα τους τα κτίσματα αλλά και τις διακοσμήσεις τους, με τον κανόνα της χρυσής τομής.

Όμως όλα αυτά φαντάζουν μηδαμινά μπροστά στο μέγιστο επίτευγμα των αρχαίων Ελλήνων.

Την κατασκευή της Ελληνικής γλώσσας η οποία είναι καθαρά μαθηματική γλώσσα και αποδεικνύεται μέσω των λεξαρίθμων.

Είναι πάρα πολλά τα παραδείγματα που μία λέξη ισούται με καποια άλλη λεξαριθμητικά και ενώ έχουν διαφορετικό νόημα ως αυτόνομες λέξεις σαν λεξάριθμοι σχηματίζουν ένα νόημα και σχετίζονται άμεσα με τον χρυσό αριθμό φ αλλά και το π=3.14.

Σε καμία άλλη γλώσσα δεν ισχύει κάτι παρόμοιο και καμία άλλη γλώσσα δεν έχει θεωρηθεί σαν ένα αριστούργημα παγκοσμίως.

Το ότι η μελέτη των αρχαίων Ελληνικών έχει αποδειχθεί ότι βοηθά στην ανάπτυξη νευρώνων του εγκεφάλου κάνοντας τους ανθρώπους πιο έξυπνους είναι αποτέλεσμα της πολυπλοκότητας κατασκευής της γλώσσας.

Με την βοήθεια των φ και π και των πράξεων μεταξύ των λέξεων λειτουργεί και σαν μέσο κρυπτογράφησης.

Όλα αυτά ουσιαστικά είναι αποδείξεις που ακυρώνουν την ανακάλυψη του Fibonacci γιατί χρησιμοποιούνταν ήδη σε μέγιστο βαθμό οι συγκεκριμένες ακολουθίες με κύριο παράδειγμα την ίδια την γλώσσα και την διάταξη των διαζωμάτων στο θέατρο της Επιδαύρου.

 

Ήταν ένα πολύ συνηθισμένο φαινόμενο κείμενα που είχαν χαθεί στο πέρασμα των αιώνων ή τα είχαν κρύψει σκόπιμα κάποιοι για να αποκρύψουν την γνώση, όταν έρχονταν ξανά στην επιφάνεια, αυτοί που τα κατείχαν να έθεταν τους εαυτούς τους ως τους μεγάλους επιστήμονες που δήθεν ανακάλυψαν μόνοι από το πουθενά κάποια πολύ σημαντικά για την ανθρωπότητα στοιχεία χωρίς να το δικαιολογεί ούτε το υπόβαθρό τους αλλά ούτε και ο πρώτερος βίος τους, ενώ είχαν γραφεί πριν από αιώνες.

Είναι τυχαίο ότι όλοι σχεδόν οι μεγάλοι ερευνητές των προηγούμενων χιλίων χρόνων ήταν είτε πλούσιοι με μεγάλες συλλογές ελληνικών συγγραμμάτων, είτε ανήκαν σε κάποια μυστική οργάνωση που είχε σχέση και με την απόκρυψη ανώτερης γνώσης;

Στην μεταγενέστερη εποχή χρησιμοποιείται στους πίνακες μεγάλων ζωγράφων όπως του Da Vinci που δόμησε την Mona Lisa με βάση ένα χρυσό τρίγωνο και την ζωγράφισε επεκτείνοντάς το με άλλα χρυσά τρίγωνα,σε σχέδια που βασίζονται σε γεωμετρικά σχήματα όπως τα Fractals.

Επίσης ανακαλύφθηκε ότι και το DNA ακολουθεί την αναλογία αλλά και ολόκληρο το σύμπαν. Μέχρι και η κίνηση των πλανητών γίνεται βάσει της χρυσής αναλογίας.

Ο χρυσός αριθμός φ είναι μία από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις της Γεωμετρίας.

Φαίνεται ότι ήδη ίσχυε και ο Πυθαγόρας διατύπωσε κάτι το κοινά χρησιμοποιούμενο και αποδεκτό.

Τα οφέλη από από αυτή την διατύπωση του Πυθαγόρα είναι πάρα πολλά.

Θεμελιώθηκε η χρυσή αναλογία σαν αριθμός ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κατασκευές στα μεταγενέστερα χρόνια γιατί οι αρχαίοι Έλληνες ήδη γνώριζαν, αναπτύχθηκε η θεωρία περί αναλογιών τμημάτων και πλευρών που οδήγησε στην διατύπωση πληθώρας θεωρημάτων και το κυριότερο ότι διατυπώθηκε η θεωρία των ιδεών.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ - Όταν με την τέχνη και την επιστήμη, η Αρχαία Ελλάδα αγγίζει το ΘΕΙΟ

Ο Χρυσός Λόγος Φ ή Χρυσή Τομή Φ ή Χρυσός Κανόνας Φ ή Θεϊκή Αναλογία ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν ισχύει που ισούται περίπου με 1,618.

Δίνει αρμονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την Αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση.

Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, (-585 έως -500) που γεννήθηκε στη Σάμο, και ίδρυσε σημαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). 

Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το γράμμα Φ προς τιμήν του Φειδία, ίσως τον γνωστότερο γλύπτη της Ελληνικής Αρχαιότητας, και τον σημαντικότερο της κλασικής περιόδου.

Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγορείους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού.

Με βάση το χρυσό λόγο δημιουργήθηκαν πολλά έργα της κλασσικής εποχής, όπως ο Παρθενώνας, και της αναγεννησιακής εποχής, όπως είναι ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι.

Ακόμη και σήμερα χρησιμοποιείται για την απόδοση της αρμονίας σε έργα, ή στην πλαστική χειρουργική για την ωραιοποίηση του ανθρώπινου προσώπου.

Αν οι άνθρωποι επιλέγουν τη Χρυσή Τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για τη φύση, που επιλέγει τη λογαριθμική σπείρα για να «κατασκευάσει» μια πληθώρα από δομές;

Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος.

Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων

Τέλος στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.

Ποιος είναι άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα;

Τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους.

Η ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από τον διαθέσιμο χώρο. Η δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής.

Λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού ενώ στο νότιο ημισφαίριο αντίστροφα.

Τέλος οι σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, οι οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή απόσταση.

Φαίνεται λοιπόν ότι η Χρυσή Τομή αποτελεί έναν αριθμό με «παγκόσμιες»ιδιότητες, παρόμοιο με τον αριθμό π = 3,14 ο οποίος ισούται με το πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου δια τη διάμετρο του.

ΑΡΧΑΙΟΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΤΟΠΟΘΕΣΙΕΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΥΣΟ ΛΟΓΟ Φ

Οι Αρχαίοι Έλληνες για τις αποστάσεις χρησιμοποιούσαν σαν μονάδα μέτρησης το "στάδιο".

Υπάρχει μία απίστευτη Γεωγραφική συμμετρία των αποστάσεων ή των γεωμετρικών σχημάτων που σχηματίζουν σημαντικά μνημεία της Ελληνικής Αρχαιότητας π.χ Σχηματίζεται ένα ισοσκελές τρίγωνο μεταξύ της Ακρόπολης της Αθήνας, με τον ναό του Ποσειδώνα στο Σούνιο και τον ναό της Αφαίας Αθηνάς στην Αίγινα με απόσταση 242 στάδια.

Σε κάθε γνωστό μνημείο της Αρχαίας Ελλάδας (π.χ μαντείο των Δελφών, το ιερό νησί της Δήλου , το ιερό της Δωδώνης κ.λπ.) όταν "χαράξουμε" Κύκλο με κέντρο το μνημείο και ακτίνα ένα άλλο μνημείο , τότε η νοητή περιφέρεια του κύκλου θα περάσει και από άλλο ένα μνημείο ή πόλη ! (πχ κέντρο "την Δωδώνη" και ακτίνα κύκλου "την Αθήνα" .... τότε η περιφέρεια του Κύκλου θα περάσει από την Σπάρτη!


Κέντρο η "οι Δελφοί" - ακτίνα η Αθήνα - θα περάσει η περιφέρεια και από την Ολυμπία..., Δήλος - Αργος - Μηκύνες .... και πάρα πολλά άλλα παραδείγματα..

Η Χαλκίδα απέχει απ' την Θήβα και το Αμφιάρειο, 162 (Φ*100) στάδια (το ίδιο). Η απόσταση Θήβας - Αμφιαρείου είναι 262 στάδια (162 x 1.62 = 2.62 αλλά και 100 x φ2= 262) το τρίγωνο υπακούει στην αρμονία του χρυσού αριθμού φ.

Η Χαλκίδα ισαπέχει επίσης απ' την Αθήνα και τα Μέγαρα 314 στάδια. Δηλαδή παρουσιάζονται ο χρυσός αριθμός φ και το π εκατονταπλασιασμένα.


Η Σμύρνη ισαπέχει απ' την Αθήνα και την Θεσσαλονίκη (1620 στάδια). (Φ x 1000) . Εκτός από την Ιερή Γεωγραφία της Αρχαίας Ελλάδος, είναι γνωστό ότι το Παρθενώνας έχει κατασκευαστεί με αναλογίες και συνδυασμούς του ΧΡΥΣΟΥ αριθμού Φ = 1,618034 και του π =3,1415927.

Είναι τυχαίο ότι θεωρείται από το πιο λαμπρά μνημεία στην ιστορία της ανθρωπότητας;

Είναι τυχαία και συμπτωματική η χρήση στην κατασκευή του ναού, του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ;


«1,618...» - Ο αγαπημένος αριθμός του Σύμπαντος

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τι κοινό έχουν οι ζωγραφικοί πίνακες της Αναγέννησης με τα τριαντάφυλλα και τις μαύρες τρύπες του Σύμπαντος;

Η απάντηση είναι ότι και στις τρεις περιπτώσεις εμφανίζεται ο ξεχωριστός αριθμός 1,618... με το άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων.

Οι μαθηματικοί της αρχαιότητας συγκλονίστηκαν, όταν οι ξεχωριστές ιδιότητας του 1,618... (του αριθμού φ) άρχισαν να αποκαλύπτονται μπροστά στα μάτια τους.


Σήμερα, ο λεγόμενος «χρυσός αριθμός», που αποκαλείται και «χρυσή αναλογία» ή απλά, φ, εξακολουθεί να εντυπωσιάζει μαθηματικούς, αρχιτέκτονες, βιολόγους και πολλούς άλλους, επειδή εμφανίζεται συνεχώς σε νέους και απρόσμενους συσχετισμούς.

Το Σύμπαν δείχνει να τρέφει μια ιδιαίτερη αδυναμία γι’ αυτόν τον αριθμό με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία.


Αν παρατηρήσει κανείς ένα οποιοδήποτε φυτό από τον κήπο, θα συναντήσει, σχεδόν σίγουρα, τον αριθμό φ, στη διάταξη των φύλλων ή των λουλουδιών του.

Για παράδειγμα, στην κυκλική διάταξη της στεφάνης του τριαντάφυλλου, τα πέταλα διατάσσονται όπως τα σκαλοπάτια μιας ελικοειδούς σκάλας.

Η γωνία ανάμεσα σε 2 πέταλα είναι περίπου 222,5 μοίρες. Αν διαιρέσουμε τις 360 μοίρες του κύκλου με τον αριθμό 222,5, το πηλίκο είναι, κατά μεγάλη προσέγγιση, ο αριθμός φ.

Σύμφωνα με μετρήσεις, σ’ αυτήν ακριβώς τη γωνία των 222,5 μοιρών, τα φύλλα των φυτών ρίχνουν την ελάχιστη δυνατή σκιά το ένα στο άλλο.


Ο κατάλογος είναι ατελείωτος: το φ εμφανίζεται στακελύφη των σαλιγκαριών, αλλά και στημορφή των γαλαξιών, στις διακυμάνσεις του χρηματιστηρίου και στις αποστάσεις ανάμεσα στα κουκούτσια του μήλου.

Ακόμα και πολλά από τα πιο μικρά σωματίδια στη φύση φαίνεται ότι διατάσσονται σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία.



Πριν από λίγα χρόνια, Ελβετοί και Αμερικανοί επιστήμονες μελετούσαν τους λεγόμενους ημικρυστάλλους, οι οποίοι έχουν πολύ ιδιαίτερη δομή σε επίπεδο ατόμων. Η επιφάνειά τους αποτελείται από έδρες με δύο διαφορετικά ύψη.

Όταν τα ύψη αυτά μετρήθηκαν μ’ ένα ακριβέστατο μικροσκόπιο σάρωσης σήραγγας (STM), οι ερευνητές έκπληκτοι ανακάλυψαν ότι ο λόγος του μεγαλύτερου ύψους προς το μικρότερο είναι ακριβώς 1,618...

Η θεωρία των ερευνητών είναι ότι ο κρύσταλλος έχει τη μεγαλύτερη σταθερότητα, όταν υπάρχει αυτή ακριβώς η σχέση.



ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΑΡΑΓΜΕΝΟΙ ΣΕ ΚΟΚΑΛΟ

Η χρυσή αναλογία αποτελεί ένα εντυπωσιακό παράδειγμα της αινιγματικής σχέσης που υπάρχει ανάμεσα στους αφηρημένους νόμους των αριθμών και τον υλικό κόσμο.

Από τότε που ο αριθμός φ προσεγγίστηκε (εδώ και πάνω από 2000 χρόνια) πολλές γενιές μαθηματικών μελέτησαν τις ξεχωριστές ιδιότητές του.

Η ιστορία του φ είναι η ιστορία των αριθμών και της μαθηματικής επιστήμης.
\


Οι αριθμοί μπορούν να εκφράζουν αντικειμενικά, μετρήσιμα μεγέθη. Γι’ αυτό, ήταν από την αρχαιότητα απαραίτητοι στο εμπόριο, στη φορολογία και στη μέτρηση του μήκους, του βάρους και του χρόνου.

Αργότερα, έγιναν η κυρίαρχη γλώσσα της οικονομίας και της επιστήμης και στη σημερινή κοινωνία της πληροφορικής οι υπολογιστές μετατρέπουν μουσική και εικόνες σε δυαδικούς αριθμητικούς κώδικες, οι οποίοι στέλνονται σε άλλους υπολογιστές μέσω του Διαδικτύου.

Σε ολόκληρο τον κόσμο, με τον τρόπο αυτόν στέλνουμε πολλά τρισεκατομμύρια αριθμούς κάθε δευτερόλεπτο.



Το αρχαιότερο τεκμηριωμένο εύρημα για τη χρήση αρίθμησης είναι ηλικίας 37.000 ετών.

Στα όρηΛεμόμπο της Αφρικής, οι αρχαιολόγοι βρήκαν ένα μηριαίο οστό μπαμπουίνου με 29 συμμετρικές χαρακιές.

Το εύρημα, βέβαια, μπορεί να ερμηνευτεί με διάφορους τρόπους, αλλά μια προφανής πιθανότητα είναι ότι οι χαρακιές αντιπροσωπεύουν μια σειρά ημερών ανάμεσα σε δυο συμβάντα, το σύνολο των σκοτωμένων θηραμάτων ή άλλων πραγμάτων από την καθημερινότητα της μακρινής εκείνης εποχής.



Τα πρώτα πραγματικά αριθμητικά συστήματα είναι, ωστόσο, πολύ νεότερα.

Ανάμεσα στους πρώτους πολιτισμούς που κατείχαν τόσο τη γλώσσα όσο και τους υπολογισμούς ήταν οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι της Μεσοποταμίας, στο σημερινό Ιράκ.

Στο δέλτα των ποταμών Τίγρη και Ευφράτη, οι Βαβυλώνιοι δημιούργησαν γύρω στο 1800 π.Χ. ένα κράτος με κεντρική διοίκηση, νομοθεσία, ταχυδρομείο και ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης.

Σ’ ένα θεσιακό αριθμητικό σύστημα, η αξία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του ψηφίου αυτού στον αριθμό.

Για παράδειγμα, προτιμάμε να έχουμε 1500 ευρώ αντί για 1050 ή 1005, γιατί η μετακίνηση του 5 προς τα δεξιά μειώνει την τιμή του.

Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα λέγεται δεκαδικό, επειδή η αξία κάθε ψηφίου δεκαπλασιάζεται κάθε φορά που το ψηφίο μετακινείται κατά μια θέση προς τα αριστερά.

Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων δεν είχε σαν βάση το 10, αλλά το 60. Στο σύστημα αυτό, η αξία του ψηφίου πολλαπλασιάζεται επί 60 σε κάθε μετακίνηση του προς τα αριστερά.

Οι επιστήμονες γνωρίζουν αρκετά για την ανάπτυξη των μαθηματικών των Βαβυλωνίων, από τις χιλιάδες πήλινες πινακίδες με σφηνοειδή γραφή που σώζονται μέχρι τις ημέρες μας.

Από αυτές γνωρίζουμε, ακόμα, ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν ανακαλύψει και μια πρωτόγονη εκδοχή του μηδενός, γύρω στο 700 π.Χ.



ΤΟ ΜΗΔΕΝ ΞΕΧΑΣΤΗΚΕ

Οι Βαβυλώνιοι, ωστόσο, δεν επινόησαν κάποιο σύμβολο για το μηδέν, απλά, άφησαν μια θέση στον αριθμό κενή.

Για αρχή, αυτό αποτελούσε μια τεράστια μαθηματική καινοτομία, αλλά δυστυχώς ξεχάστηκε σύντομα.

Οι επόμενες γενιές των μαθηματικών δεν αντιλήφθηκαν τη μεγάλη σημασία του μηδενός και επέστρεψαν σε πιο πρωτόγονα ψηφία.

Πάντοτε ήταν δύσκολο να κατανοήσει κανείς την αξία ενός ψηφίου που αντιπροσωπεύει το «τίποτα».

Ακόμα και σήμερα, ωστόσο, χρησιμοποιούμε το βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης με βάση το 60: μεταξύ άλλων, η ώρα υποδιαιρείται σε 60 λεπτά, το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα και ο κύκλος σε 360 μοίρες.

Αυτές οι υποδιαιρέσεις έχουν κληροδοτηθεί στον πολιτισμό μας και (σύμφωνα με ένα μέρος της βιβλιογραφίας γύρω από την αρχαιότητα) από τη Βαβυλώνα έχουμε επίσης κληρονομήσει τη χρυσή αναλογία.



Ανάμεσα στα χιλιάδες σωζόμενα ανάγλυφα, μνημεία και αγάλματα της αρχαίας Βαβυλώνας, ορισμένοι (όπως το ανάγλυφο «Πληγωμένη λέαινα», του 650 π.Χ.) εγγράφονται με ελάχιστες αποκλίσεις σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που ο λόγος των διαστάσεών του ισούται με φ.

Με βάση αυτό, πολλοί ιστορικοί της τέχνης και ερασιτέχνες αρχαιολόγοι έχουν υποστηρίξει από παλιά ότι οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τη χρυσή αναλογία. Κατά πάσα πιθανότητα, όμως, πρόκειται για εσφαλμένη αντίληψη.

Οι σοβαρότερες έρευνες για την αρχαιότητα αμφισβητούν εδώ και δεκαετίες την τάση των αριθμολόγων αποκρυφιστών να βλέπουν παντού το φ.

Οι σκεπτικιστές επισημαίνουν ότι μπορούμε να βρούμε άπειρους διαφορετικούς αριθμούς σχεδόν σε κάθε αντικείμενο.

Αν μετρήσει κανείς τις διαστάσεις μιας τηλεόρασης και εφαρμόσει σ’ αυτές τις 4 πράξεις της αριθμητικής, μπορεί να εξαγάγει όποιο αποτέλεσμα θέλει (μεταξύ αυτών και το φ).

Όμως, δεν μπορεί με γνώμονα αυτούς τους υπολογισμούς να συμπεράνει ότι ο κατασκευαστής της τηλεόρασης χρησιμοποίησε συνειδητά το φ.


Οι Βαβυλώνιοι, κατά πάσα πιθανότητα, δεν γνώριζαν τίποτα για τη χρυσή αναλογία και τη γεωμετρική της σημασία.

Η δόξα για τον πρώτο προσδιορισμό το φ ανήκει στον Έλληνα Ευκλείδη από την Αλεξάνδρεια, ο οποίος, σύμφωνα με την άποψη πολλών, θεμελίωσε τη μαθηματική επιστήμη γύρω στο 300 π.Χ.




Ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Ο Ευκλείδης συγκέντρωσε το μεγαλύτερο μέρος των τότε πρακτικών μαθηματικών γνώσεων σε 13 βιβλία με το γενικό τίτλο «Στοιχεία», τα οποία αποτέλεσαν έκτοτε υπόδειγμα για κάθε μαθηματικό.

Τα «Στοιχεία» έχουν γνωρίσει πάνω από 1.000 εκδόσεις από την πρώτη τους εκτύπωση στο τυπογραφείο του Γουτεμβέργιου, εδώ και περίπου 500 χρόνια.

Είναι πιθανότατα το πιο πολυδιαβασμένο βιβλίο στο Δυτικό κόσμο, μετά τη Βίβλο.



Τα «Στοιχεία» έχουν κερδίσει το θαυμασμό πάνω απ’ όλα για τη σαφήνειά τους και για την αυστηρή τους συγκρότηση.

Οι μαθηματικοί πριν από τον Ευκλείδη σπάνια προβληματίζονταν για την ορθότητα μιας συγκεκριμένης μαθηματικής αντίληψης (εμπιστεύονταν απλά τη διαίσθησή τους).

Ο Ευκλείδης, αντίθετα, θεμελίωσε εξαρχής τα μαθηματικά του σε αξιώματα, δηλαδή σε θεμελιώδεις προτάσεις των οποίων η αλήθεια δεν αποδεικνύεται, αλλά απλά διατυπώνονται ως εμπειρικά αυταπόδεικτες αρχές.

Το πλεονέκτημα με τα μαθηματικά που βασίζονται σε αξιώματα είναι ότι όσοι αποδέχονται ένα αξίωμα θα πρέπει επίσης να αποδεχτούν και όλο το θεωρητικό οικοδόμημα που χτίζεται με βάση το αξίωμα αυτό.

Το πρώτο αξίωμα στα βιβλία γεωμετρίας του Ευκλείδη λέει απλά ότι από δύο σημεία διέρχεται μια και μόνο ευθεία.

Σύμφωνα με το τέταρτο αξίωμα, όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Η καταγραφή τέτοιων αυτονόητων πραγμάτων μπορεί να φαίνεται περιττή, αλλά η χρησιμότητα των αξιωμάτων είναι θεμελιώδης στο οικοδόμημα των μαθηματικών.




ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΕΙΝΑΙ ΦΤΙΑΓΜΕΝΟ ΛΑΘΟΣ

Με τη βοήθεια αυτών των θεμελιωδών αξιωμάτων, ο Ευκλείδης κατάφερε να αποδείξει την ισχύ όλης της γεωμετρίας των κύκλων, των τριγώνων, των ορθογωνίων παραλληλογράμμων κλπ., την οποία διδάσκονται ακόμα και σήμερα τα παιδιά στα σχολεία.

Οι σημερινοί μαθηματικοί εξάγουν κι αυτοί τα συμπεράσματά τους στηριζόμενοι σε αξιώματα.


Το έργο του Ευκλείδη αποτέλεσε ορόσημο για τα μαθηματικά.

Με το καινούργιο του εργαλείο, ο αρχαίος μαθηματικός κατάφερε να προσεγγίσει τη χρυσή αναλογία.

Ο αριθμός φ αντλεί τον ορισμό του από τη λεγόμενη χρυσή τομή.

Η αφετηρία είναι γεωμετρική:

ο Ευκλείδης παίρνει ένα ευθύγραμμο τμήμα (ΑΒ) και το διαιρεί σε δύο τμήματα (ΑΓ) και (ΓΒ).

Η χρυσή τομή είναι εκείνο το σημείο (Γ) που διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα (ΑΒ) στα δυο τμήματα, έτσι ώστε το πηλίκο του (ΑΒ) προς το μεγαλύτερο τμήμα (ΑΓ) να είναι ίσο με το πηλίκο του μεγαλύτερου τμήματος (ΑΓ) προς το μικρότερο (ΓΒ).

Η αναλογία αυτή λέγεται «χρυσή αναλογία» και σύμφωνα με τον ορισμό του Ευκλείδη, υπολογίζεται ότι έχει αριθμητική τιμή 1,618..., δηλαδή ότι το μεγαλύτερο τμήμα θα έχει πάντα 1,618... φορές μεγαλύτερο μήκος από το μικρότερο.

Τα δεκαδικά ψηφία είναι άπειρα και η ακολουθία τους δεν επαναλαμβάνεται.



Κατά τον ίδιο τρόπο, αποκαλούμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο «χρυσό», όταν το πηλίκο της μεγαλύτερης προς τη μικρότερη πλευρά του ισούται με φ.

Αυτό το ορθογώνιο έχει μια ιδιότητα που το ξεχωρίζει από όλα τα άλλα: αν αφαιρέσουμε από τη μια πλευρά το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο, απομένει ένα καινούργιο ορθογώνιο, που είναι επίσης χρυσό, και αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον.

Αν ενώσει κανείς με μια καμπύλη τις κορυφές όλων αυτών των ορθογωνίων, που είναι και χρυσές τομές, σχηματίζεται μια λογαριθμική έλικα.

Αυτή ακριβώς η έλικα υπάρχει παντού στη φύση.

Για παράδειγμα, στο κέλυφος των σαλιγκαριών, στο όστρακο των ναυτίλων και στην ιδιόμορφη ελικοειδή διάταξη που σχηματίζεται από τους σπόρους των ηλίανθων.

Επομένως, το φ είναι ένας «άρρητος» ή «ασύμμετρος» αριθμός, δηλαδή αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί με τη μορφή κλάσματος ακεραίων.

Ίσως όμως αυτή ακριβώς η ασυμμετρία του τον κάνει χρήσιμο για τη φύση (π.χ. για τα φυτά).


Η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών δημιούργησε στους κύκλους των σοφών της αρχαίας Ελλάδας, ούτε λίγο ούτε πολύ, μια φιλοσοφική κρίση, διότι οι αριθμοί αυτοί θεωρήθηκαν σαν ένα τρομακτικό λάθος στην κατασκευή του σύμπαντος.

Η σχολή των Πυθαγορείων είχε δημιουργήσει ένα φιλοσοφικό θρησκευτικό σύστημα με βάση τους ακέραιους αριθμούς.

Για τους Πυθαγόρειους, μάλιστα, οι αριθμοί είχαν φυσική οντότητα στον κόσμο.

Σύμφωνα με ένα ιστορικό ανέκδοτο, ο ιδρυτής του κινήματος Πυθαγόρας είχε κάποτε ακούσει δυο σιδεράδες να σφυροκοπούν πυρακτωμένα σίδερα.

Οι τόνοι διέφεραν μεταξύ τους κατά διαστήματα ογδόης (οκτάβες), πέμπτης και τετάρτης και γι’ αυτό ηχούσαν αρμονικά.

Οι σιδεράδες είχαν πολλά σφυριά και οι τονικές διαφορές οφείλονταν στο διαφορετικό βάρος των σφυριών αυτών.

Μια οκτάβα, δηλαδή ένα διάστημα 8 βαθμίδων ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ίδιες νότες της επτάφθογγης κλίμακας, προέκυπτε από το χτύπημα δύο σφυριών που η σχέση τους ως προς το βάρος ήταν 2:1, για παράδειγμα, ζύγιζαν αντίστοιχα 12 και 6 κιλά (ή κάτι ανάλογο σε οποιαδήποτε μονάδα βάρους).

Ακόμα και για τα διαστήματα πέμπτης και τετάρτης, η αναλογία του βάρους των σφυριών μπορούσε να δοθεί με κλάσματα μικρών ακέραιων αριθμών, όπως το 3:2 και 4:3.

Για τον Πυθαγόρα, η ικανότητα των ακέραιων αριθμών να παράγουν μουσική αρμονία αποτελούσε ένα ακόμα τεκμήριο της κυριαρχίας τους στο σύμπαν.



Με αφετηρία τους ακέραιους αριθμούς, οι Πυθαγόρειοι συνδύασαν τη μαθηματική λογική, επιμέρους παρατηρήσεις και την ελεύθερη φαντασία και οικοδόμησαν ένα ισχυρό φιλοσοφικό σύστημα.

Η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών, όπως το φ, ήταν καταστροφική, διότι αποδείκνυε τις πεπερασμένες δυνατότητες των ακέραιων αριθμών.



Αριθμητικό σύστημα των Μάγια
ΟΙ ΙΝΚΑΣ ΜΕΤΡΟΥΣΑΝ ΜΕ ΚΟΜΠΟΥΣ
Οι αριθμοί μπορούν να παρασταθούν και με άλλους τρόπους εκτός των γραπτών συμβόλων, κι αυτό το απέδειξαν οι Ίνκας με το δικό τους σύστημα αρίθμησης.

Σε αντίθεση με άλλους μεγάλους πολιτισμούς, οι Ίνκας δεν διέθεταν γραπτή γλώσσα.

Οι κρατικοί λειτουργοί μετρούσαν κατοίκους και σοδειές με τη βοήθεια ενός αριθμητηρίου.

Τα αθροίσματα «καταγράφονταν» με κόμπους σ’ ένα κατασκεύασμα από σχοινιά που λεγόταν quipu.


Τα σχοινιά ήταν από μαλλί, βαμβάκι ή φυτικές ίνες και αντιπροσώπευαν, π.χ., έναν αριθμό στρατιωτών, την ποσότητα κάποιου προϊόντος σε μια αποθήκη ή τον αριθμό των φορολογουμένων σε μια πόλη.

Το χρώμα του σχοινιού μαρτυρούσε το είδος της μετρούμενης ποσότητας: το άσπρο σήμαινε, για παράδειγμα, ασήμι, το κίτρινο πολεμιστές και το γκρι επαρχίες.

Ένας κόμπος αναπαριστούσε μια μονάδα, δύο κόμποι, ο ένας πάνω από τον άλλον, δύο μονάδες κλπ.



Όσο πιο κοντά βρισκόταν ένας κόμπος στον άξονα απ’ όπου κρέμονταν όλα τα σχοινιά, τόσο μεγαλύτερη αξία είχε.

Κοντά στον άξονα ήταν 10.000, πιο κάτω 1.000, παρακάτω 100, 10 και τέλος 1.

Το «κομβικό» σύστημα αρίθμησης των Ίνκας θύμιζε, δηλαδή, το δικό μας δεκαδικό σύστημα.



Το quipu λειτουργούσε ταυτόχρονα και σαν ημερολόγιο αλλά και σαν βοήθημα για προφορικές αφηγήσεις.

Ίσως ο τρόπος ύφανσης των σχοινιών, το υλικό και οι διαφορετικών ειδών κόμποι να είχαν και αυτά κάποια σημασία, που ακόμα μας είναι άγνωστη.



Η ΕΥΡΩΠΗ ΚΡΑΤΗΣΕ ΤΑ ΡΩΜΑΪΚΑ ΨΗΦΙΑ

Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν εξαίρετοι γεωμέτρες, που ερευνούσαν τη λογική και την εσωτερική δομή των μαθηματικών με πρωτοποριακό τρόπο.

Όμως, το αριθμητικό τους σύστημα, το οποίο είχε ομοιότητες με το ρωμαϊκό, ποτέ δεν εξελίχθηκε ιδιαίτερα, ίσως επειδή η πρώιμη ανακάλυψη των άρρητων αριθμών κλόνισε το κύρος των ακεραίων.



Η ανακάλυψη του νεότερου δεκαδικού συστήματος έγινε από τους Ινδούς και τα σύμβολα με τα οποία αναπαριστούμε τα ψηφία προέρχονται από ταινδικά ψηφία brahmi, τα οποία αναπτύχθηκαν γύρω στο 500 μ.Χ.

Γύρω στο 700 μ.Χ., οι Ινδοί τελειοποίησαν το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, περιλαμβάνοντας σ’ αυτό και το μηδέν.

Επειδή ήταν ευκολότερο να γίνονται οι τέσσερις πράξεις με τα αριθμητικά ψηφία των Ινδών, παρά με τα ελληνικά ή τα βαβυλωνιακά, τα νέα αυτά ψηφία διαδόθηκαν γρήγορα στην Κίνα και στον αραβικό κόσμο.

Εκεί απέκτησαν, με το πέρασμα του χρόνου, μια άλλη μορφή, αλλά οι αρχές του συστήματος παρέμειναν ίδιες.

Στην Ευρώπη το ινδικό σύστημα αρίθμησης το έφεραν οι Άραβες.


Η Ευρώπη άργησε να συντονιστεί στις αλλαγές.

Μόλις γύρω στο 1200, ο Ιταλός μαθηματικός Leonardo Fibonacci διέδωσε το δεκαδικό σύστημα σ’ έναν ευρύτερο κύκλο.

Το γεγονός ότι ο Fibonacci ήταν αυτό που έφερε την επανάσταση στα ευρωπαϊκά μαθηματικά είχε να κάνει με την πολυπολιτισμική ανατροφή του.

Ο πατέρας του, που ήταν Ιταλός πρόξενος, έστειλε το γιο του να μαθητεύσει κοντά σ’ έναν Άραβα μαθηματικό.

Αργότερα, ο Fibonacci σπούδασε στην Αίγυπτο, στη Συρία και στην Ελλάδα, και οι εμπειρίες του από αυτούς τους διαφορετικούς πολιτισμούς τον βοήθησαν να καταλάβει ότι το ινδοαραβικό δεκαδικό σύστημα ήταν πολύ ανώτερο από τους ρωμαϊκούς αριθμούς.

Το βιβλίο του «Liber abbaci» (Βιβλίο περί του άβακος) έγινε το πρώτο ευρωπαϊκό έργο για τους νέους αριθμούς.




ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΚΟΥΝΕΛΙΩΝ

Κατά μία ειρωνεία της τύχης, όμως, οFibonacciδεν έγινε γνωστός ως εισηγητής του δεκαδικού συστήματος στην Ευρώπη, αλλά για τους υπολογισμούς του σχετικά με τον πολλαπλασιασμό των κουνελιών.

Σ’ έναν περίφημο , πλέον, συλλογισμό, ο Fibonacci υπέθεσε ότι δυο κουνέλια είναι σε θέση να αρχίσουν να ζευγαρώνουν σε ηλικία 2 μηνών και στο εξής φέρνουν στον κόσμο άλλα 2 κουνέλια κάθε μήνα.

Με βάση αυτή την υπόθεση, μπόρεσε να αποδείξει ότι το σύνολο των σεξουαλικά ώριμων κουνελιών αυξανόταν κάθε μήνα σύμφωνα με μια άπειρη ακολουθία, που αρχίζει ως εξής: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Κάθε αριθμός της ακολουθίας ισούται με το άθροισμα των δύο προηγουμένων.



Η «Ακολουθία Fibonacci», όπως ονομάζεται αυτή η σειρά αριθμών, είναι σήμερα γνωστή σε όλους τους μαθηματικούς, επειδή έχει κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

Το 1753, ο μαθηματικός Robert Simpson του Πανεπιστημίου της Γλασκόβης ανακάλυψε, π.χ., ότι ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών στην απειράριθμη αυτή ακολουθία προχωρώντας τείνει όλο και περισσότερο προς το φ.

Η χρυσή αναλογία συνδέεται, δηλαδή, με τον πολλαπλασιασμό των κουνελιών, παρόλο που η « Ακολουθία Fibonacci» σχηματίστηκε ανεξάρτητα από την ευκλείδεια γεωμετρία.


Παρά τις προσπάθειες του Fibonacci, η χρήση του δεκαδικού συστήματος στην Ευρώπη καθιερώθηκε μόλις τον 17ο αιώνα.

Ήδη από την Αναγέννηση, τα μαθηματικά βρίσκονταν σε μεγάλη άνοδο και προόδευαν όσο ποτέ.

Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί μετέφεραν την ελληνική λογική και αυστηρότητα σε όλους τους τομείς των μαθηματικών και άγγιξαν νέα επίπεδα αφαίρεσης, αφήνοντας πίσω τους τα μαθηματικά της αρχαιότητας.

Το 1509, ο Ιταλός μαθηματικός Luca Pacioli, στο βιβλίο του «De Divina Proportione» (Περί της Θείας Αναλογίας), παρουσίασε 5 επιχειρήματα για το ότι το φ είναι ένας θεϊκός αριθμός.

Μεγάλοι ζωγράφοι της Αναγέννησης, όπως ο Botticelli, υιοθέτησαν το φ και χρησιμοποίησαν συνειδητά χρυσά ορθογώνια και χρυσές τομές για να προβάλουν κεντρικά στοιχεία (συχνά ιερά πρόσωπα) στις συνθέσεις τους.

Η χρυσή αναλογία εμφανίζεται ακόμα και στη σύγχρονη τέχνη, για παράδειγμα, στον περίφημο πίνακα του Salvador Dali «Ατομική Λήδα», όπου το φ συναντάται σ’ ένα «χρυσό» κανονικό πεντάγωνο με κέντρο τον ομφαλό της Λήδας.


ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΜΕΝΟΥΝ ΑΙΝΙΓΜΑΤΙΚΟΙ

Από τις αρχές του 20ου αιώνα, οι ακέραιοι αριθμοί, οι ρητοί (που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα ακεραίων) και οι άρρητοι (που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσματα ακεραίων) ερμηνεύονται με βάση αξιώματα.

Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί απέχουν ακόμα πολύ από την πλήρη εξερεύνηση του συστήματος των αριθμών.

Μια ολοκληρωμένη κατανόηση των αριθμών θα σήμαινε ότι όλα τα σχετικά με αυτούς προβλήματα θα μπορούσαν να λυθούν, αλλά αυτό μάλλον δεν πρόκειται να συμβεί ποτέ.


Για παράδειγμα, το 1742, ο μαθηματικόςChristian Goldbachδιατύπωσε την εικασία ότι κάθε άρτιος αριθμός αποτελεί άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.

Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα.

Παραδείγματα πρώτων αριθμών είναι τα 2, 3, 5, 7, και 11.

Κανείς ποτέ δεν ανακάλυψε κάποια εξαίρεση από αυτήν την εικασία, αλλά ούτε και μπόρεσε κανείς να αποδείξει την απόλυτη ισχύ της.

Ίσως να υπάρχει έστω κι ένας άρτιος αριθμός που να μην αποτελεί άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.

Άρα, η εικασία του Goldbach δεν ικανοποιεί το αίτημα των αρχαίων Ελλήνων για ακρίβεια και αναγκαιότητα επαλήθευσης.

Ίσως, μάλιστα, να μην μπορεί καν να επαληθευτεί.

Γιατί, το 1931, ο νεαρός Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel εξαπέλυσε μια βόμβα στην παγκόσμια μαθηματική κοινότητα.

Με μια μακροσκελή απόδειξη, ο Gödel παρουσίασε το θεώρημα ότι δεν υπάρχει κανένα πλήρες αξιωματικό σύστημα για τους ακέραιους αριθμούς.



Το «Θεώρημα (μη) πληρότητας» τουGödelπροκάλεσε ένα σοκ ανάλογο με την ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών από τους Έλληνες.

Έδειξε με σαφήνεια ότι πάντα θα υπάρχουν αληθείς προτάσεις για τους αριθμούς, που δεν θα είναι αποδείξιμες, με άλλα λόγια, που δεν θα μπορούμε να γνωρίζουμε με την αυστηρή έννοια του όρου, εάν αυτές είναι αληθείς ή ψευδείς.

Το «Θεώρημα της (μη) πληρότητας» είναι ένα από τα σπουδαιότερα μαθηματικά συμπεράσματα που διατυπώθηκαν ποτέ, αλλά γκρέμισε ταυτόχρονα ένα πανάρχαιο όνειρο. Ο ίδιος ο Gödel έβλεπε το θεώρημά του με αισιοδοξία.

Γι’ αυτόν αποτελούσε απόδειξη ότι η διαίσθηση και η δημιουργικότητα θα είναι πάντα τα σημαντικότερα εργαλεία του μαθηματικού στην αποκάλυψη των μυστηρίων των αριθμών.



Το 1940, ο Gödel, που ήταν Εβραίος, αναγκάστηκε να μεταναστεύσει στις ΗΠΑ, όπου έμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του.

Στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, ο Gödel, που ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα, γνώρισε τον εξίσου μεγάλο φυσικόAlbert Einstein.

Ο Gödel υπέφερε από μανία καταδίωξης και ανορεξία, και ο Einstein του πρότεινε να κάνουν καθημερινά έναν περίπατο μαζί.

Χάρη στη φιλία αυτή, ο Gödel συνέλαβε κάποιες επαναστατικές λύσεις για τις εξισώσεις σχετικότητας του Einstein.

Επίσης, επισήμανε τη δυνατότητα ταξιδιών στο χρόνο μέσω των ακραίων βαρυτικών πεδίων στις μαύρες τρύπες του Σύμπαντος.

Ακόμα και σήμερα, πολλοί επιστήμονες μελετούν το παράδοξο που δημιουργούν αυτά τα ταξίδια στο χρόνο.



Τώρα, το τι συζητούσε ο λεπτός και νευρωτικό Gödel με τον ελαφρώς ευτραφή και πρόσχαρο Einstein στους καθημερινούς τους περιπάτους δεν μπορούμε να ξέρουμε.

Ίσως, μεταξύ άλλων, να ανέλυαν και τη χρυσή αναλογία, η οποία επίσης εμφανίζεται στις μαύρες τρύπες της θεωρίας της σχετικότητας.



Σύμφωνα με υπολογισμούς, οι παμφάγεςμαύρες τρύπεςεναλλάσσονται μεταξύ δύο καταστάσεων.

Στη μια κατάσταση, το βαρυτικό τους κέντρο (singularity) έχει αρνητική ειδική θερμοχωρητικότητα, κατά την οποία, σε αντίθεση με όποια λογική, γίνονται θερμότερες όσο πιο πολλή ενέργεια χάνουν.

Στην άλλη κατάσταση έχουν κανονική θετική θερμοχωρητικότητα.



Η λεπτή διαχωριστική γραμμή ανάμεσα σε αυτές τις δύο θέσεις εξαρτάται, μεταξύ άλλων, και από την ταχύτητα περιστροφής της τρύπας.

Πώς όμως υπολογίζεται η ταχύτητα αυτή;

Στην εξίσωση για τον υπολογισμό της ταχύτητας αυτής συμμετέχει (εννοείται) και κάποια σταθερά, ο αριθμός του Σύμπαντος φ = 1,61803398874989484...

Λεονάρντο Φιμπονάτσι,1170-1240 (Leonardo Pisano Fibonacci)
Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 στη Πίζα και πέθανε αυτή του 1240.

Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (γιος του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του.

O Fibonacci αυτοαποκαλούνταν μερικές φορές και «Bigollo», που σημαίνει ταξιδιώτης, όπως και ήταν.

Ο πατέρας του Leonardo, Guilielmo Bonacci, ήταν γραμματέας της Δημοκρατίας της Πίζας στη Βορειοαφρικανική πόλη Bugia.

Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα κατά μήκος της Μεσογειακής ακτής (Αίγυπτο, Συρία, Ελλάδα, Σικελία και Προβηγκία).

Έτσι μελέτησε και έμαθε τις μαθηματικές τεχνικές και τα αριθμητικά συστήματα που είχαν υιοθετηθεί σε εκείνες τις περιοχές.

Ο Fibonacci, ο Αυτοκράτορας Φρειδερίκος Β’ και οι ακόλουθοί του
Γύρω στο 1200, ο Fibonacci επέστρεψε στην Πίζα, όπου για τα επόμενα 25 χρόνια επεξεργαζόταν τις δικές του μαθηματικές συνθέσεις.

Η φήμη του ήταν τόσο μεγάλη, που προσέλκυσε την προσοχή του Ρωμαίου Αυτοκράτορα και ισχυρότερου άνδρα της εποχής, Φρειδερίκου Β’ (1194-1250).

Ο Φρειδερίκος Β’ ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για τα μαθηματικά και τις επιστήμες, ήταν προστάτης των πουλιών και των αγρίων ζώων και ενθάρρυνε τη μόρφωση σ΄ όλα τα πεδία.

Είχε καταφέρει να δημιουργήσει ένα κράτος συνδυάζοντας όλες τις φυλές και τις κουλτούρες.

Υπάρχουν επίσης αναφορές ότι είχε μυηθεί στο μυστικισμό των Σούφι και ότι βρισκόταν σε επαφή με τους Ασσασσίνους (μυστικό τάγμα ιδρυμένο στην Περσία).

Η συναναστροφή του Fibonacci με τους ακόλουθους του αυτοκράτορα υπήρξε πολύ σημαντική.

Είχε επαφές κυρίως με δύο από αυτούς στην αυλή του Αυτοκράτορα στο Παλέρμο.

Ο ένας ήταν ο Theodore Physicus, ο φιλόσοφος της αυλής (στον οποίο έχει στείλει και το τελευταίο του μαθηματικό έργο), που δοκίμαζε την εξυπνάδα του μπροστά στον Φρειδερίκο.

Ο άλλος ήταν ο Michael Scott (1175-1234), o οποίος αναφέρεται ως ο αστρολόγος της αυλής. Ο M.Scott ήταν και ο δάσκαλος του Fibonacci.

Τα πεδία ενδιαφέροντος του Michael Scott ήταν τα μαθηματικά, η φυσική, η φαρμακευτική, η αστρολογία και ο αποκρυφισμός και μετέφρασε και σχολίασε αρκετά αραβικά και ελληνικά έργα πάνω σε αυτά τα θέματα.

Ο Μαθηματικός
Ο Fibonacci έγραψε σημαντικά κείμενα, τα οποία έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην αναζωογόνηση των αρχαίων μαθηματικών τεχνών:

(α) Liber Abbaci (Tο Βιβλίο των Υπολογισμών), 1202 (1228)

Με αυτό του το έργο παρουσίασε στη Δυτική Ευρώπη το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα και τους κανόνες του (1,2,3,4,5,6,7,8,9 και ένα σύμβολο για το μηδέν (0) καθώς και την υποδιαστολή).

Επίσης, με ένα πρόβλημα που θέτει στο τρίτο μέρος του Liber abaci καταλήγει στην παρουσίαση της λεγόμενης Ακολουθίας Fibonacci (το όνομα Fibonacci δόθηκε σε αυτή την ακολουθία από το Γάλλο μαθηματικό Edouard Lucas (1842-1891).

Η επανέκδοση του Liber Abbaci (1228) με συμπληρωματικά στοιχεία, αφιερώθηκε στον Michael Scott.

(β) Practica Geometriae (Πρακτική της Γεωμετρίας), 1220
Tο έργο αυτό είναι αφιερωμένο στον Dominicus Hispanus, ένα ακόμη μέλος της Αυλής του Φρειδερίκου Β’.

Περιλαμβάνει γεωμετρικά προβλήματα με θεωρήματα βασισμένα στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Αντί για τις αποδείξεις των θεωρημάτων αυτών, στο βιβλίο αναφέρονται πρακτικές πληροφορίες για τη χρήση τους.

(γ) Liber Quadratorum (Το Βιβλίο των Τετραγωνικών αριθμών), 1225
Είναι ένα βιβλίο αριθμολογίας, στο οποίο εξετάζει επίσης και μεθόδους εύρεσης πυθαγορικών τριάδων. Αφιερώθηκε στο Φρειδερίκο Β’.
(δ) Flos (Το Λουλούδι), 1225

Το βιβλίο αυτό είναι μια συλλογή των λύσεων των προβλημάτων και των τετραγωνικών εξισώσεων με δύο ή περισσότερες μεταβλητές που τέθηκαν στον Fibonacci υπό την παρουσία του Φρειδερίκου από τον Johannes of Palermo, μέλος της Αυλής.

(ε) Γράμμα στον Δάσκαλο Theodorus

Περί γεωμετρικής ανάλυσης.

Η προσωπική του ζωή
Τα μόνα στοιχεία που έχουμε για την προσωπικότητά του, τα λαμβάνουμε από λίγες προτάσεις στη δεύτερη έκδοση του Liber Abbaci τo 1228, οι οποίες εκπέμπουν, εκτός από τη μαθηματική ποιότητα του μυαλού του, την νοητική του περιέργεια και τον ενθουσιασμό, ένα αίσθημα σεβασμού για την αξιοπρεπή ταπεινότητα του ανθρώπου αυτού.
Τα επιτεύγματά του

Εκτός από το πολύ σημαντικό γεγονός της σύνθεσης και παρουσίασης των ινδοαραβικών μαθηματικών και τεχνικών στο νέο κοινό της Δύσης, το πιο γνωστό από τα επιτεύγματά του είναι αναμφισβήτητα η ακολουθία στην οποία έχει δοθεί το όνομά του: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...
στην οποία κάθε αριθμός είναι άθροισμα των δύο προηγούμενων.

Η ακολουθία Fibonacci είναι μια βάση για τη γεωμετρία Φράκταλ.

Επιπλέον, ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς την Χρυσή Τομή ή Χρυσή Αναλογία, ή Χρυσό Αριθμό Φ =1.618033989.

Αν και υπάρχουν αναφορές ότι αυτή η ακολουθία είχε αναφερθεί περίπου μισό αιώνα πριν, από τους Ινδούς Gospala και Hemachandra, ο Fibonacci συνάντησε αυτή την ακολουθία μελετώντας την Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα στην Αίγυπτο, η οποία και είναι χτισμένη με βάση τον αριθμό Φ.

Ο Fibonacci πίστευε ότι αυτοί οι αριθμοί μπορούν να ξεκλειδώσουν τα μυστικά της Φύσης. Αυτό μπορούμε να το αντιληφθούμε αν λάβουμε υπόψη πως η ακολουθία του, καθώς και η λογαριθμική σπείρα που δημιουργείται σε σχέση με τον αριθμό Φ, απαντώνται σχεδόν παντού:

1. Βοτανολογία, Βιολογία:

Στην ανάπτυξη των φυτών, στο γενεαλογικό δένδρο της αρσενικής μέλισσας, σε κελύφη σαλιγκαριών, στα κέρατα του κριού, στην ανάπτυξη του ανθρώπου, στα σταυροδρόμια της βιολογίας και των μαθηματικών.

2. Φυσικές Επιστήμες:

Στην ατομική σχάση, στην ηλεκτρονική ανάλυση δικτύων, στον προγραμματισμό των Η/Υ, στις διακλαδώσεις των ποταμών, στα κύματα των ωκεανών, στους ανεμοστρόβιλους, στο ηλιακό σύστημα, στους γαλαξίες και άλλα.

3. Οικονομία, Εκπαίδευση, Ποίηση, Μουσική:

Στους κύκλους των χρηματαγορών, στην εκπαίδευση μαθητών με δυσκολίες στη μάθηση, στην ανάλυση της ποίησης, σε μουσικά αριστουργήματα.

4. Αρχαιολογία, Αρχιτεκτονική, Τέχνη:

Στη Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα, στη Μινωική αρχιτεκτονική, στον Παρθενώνα της Ακρόπολης Αθηνών, σε μωσαϊκά των αρχαίων Ρωμαίων και άλλα.
Η Λογαριθμική Σπείρα του Fibonacci

Ο Leonardo Fibonacci ήταν δικαιολογημένα η μεγαλύτερη μαθηματική ιδιοφυΐα του Μεσαίωνα.

Με το θάρρος του, με το πνεύμα συγκριτικής έρευνας και φιλομάθειας κατάφερε να ξεκλειδώσει κάποια από τα εσωτερικά μυστικά της φύσης και να φέρει ένα μέρος από το Φως της Ανατολής στη σκοτεινή και μεσαιωνική Δύση.

Ήταν πραγματικά ένας πνευματικά ελκυστικός μαθηματικός που κατόρθωσε να συνδέσει τις θεωρητικές παραδόσεις των Ελλήνων και τις μαθηματικές παραδόσεις των Αράβων, εγκαθιδρύοντάς τους στην Ευρώπη.

Τα γενικότερα επιτεύγματά του αναγνωρίσθηκαν –και αναγνωρίζονται- χωρίς αμφισβήτηση.

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι-το αριθμητικό σύστημα της φύσης
Το θέμα της σημερινής εγγραφής θα σχετίζεται με τα μαθηματικά. Συγκεκριμένα θα ασχοληθούμε με τους αριθμούς Fibonacci. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .......
Oι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. 

Επιπλέον, ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας Φιμπονάτσι τείνει προς την χρυσή τομή ή χρυσή αναλογία, δηλαδή τον αριθμό φ=1,618033989. 

Υπέροχοι και μυστήριοι χαρακτηρίζονται αυτοί οι αριθμοί και απαντώνται παντού και σε διάφορες επιστήμες. Εκπληκτικός όμως είναι ο τρόπος με τον οποίο οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται στη φύση. 

 
Είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Τους συναντάς παντού, στη διάταξη των φύλλων ενός φυτού, στο μοτίβο των πετάλων ενός λουλουδιού, στο άνθος της αγκινάρας, σε ένα κουκουνάρι ή στο φλοιό ενός ανανά. 

Ισχύουν για την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός κόκκου σιταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμη και για όλη την ανθρωπότητα.

Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci - απλά μεγαλώνουν με τον πιοαποτελεσματικό τρόπο.
Αν μετρήσει κανείς τα πέταλα ενός λουλουδιού, θα διαπιστώσει ότι ο αριθμός τους είναι συχνά 3, 5, 8, 13, 21, 34 ή ακόμα και 55. Σπάνια θα συναντήσουμε λουλούδι με δύοπέταλα.

Υπάρχουν εκατοντάδες είδη, τόσο άγρια όσο και καλλιεργημένα με πέντε πέταλα.
Τα λουλούδια με οκτώ πέταλα δεν είναι τόσο κοινά όπως με τα πέντε, αλλά υπάρχουν αρκετά γνωστά είδη.

Λουλούδια με δέκα τρία, είκοσι ένα και τριάντα τέσσερα πέταλα είναι επίσης αρκετά κοινά.



Μπορούμε να μετρήσουμε στις μαργαρίτες 13, 21, 34, 55, ή και 89 πέταλα. Οι κοινές μαργαρίτες του αγρού έχουν συνήθως 34 πέταλα γεγονός που σίγουρα επηρεάζει το αποτέλεσμα του παιχνιδιού «μ’ αγαπά δεν μ’ αγαπά». Ο κρίνος έχει τρία πέταλα, ηνεραγκούλα έχει πέντε, κ.λ.π.



Φωτογραφία Panterka


Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το κέντρο του λουλουδιού.

Ο αριθμός των σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος. Γιατί γενικά είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55, είτε 55 και 89, ή 89 και 144; Ο αριθμός των σπειρών ενός ηλίανθου και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci.


Φωτογραφία lucapost


Όλα τα κουκουνάρια αναπτύσσονται σε σπείρες, ξεκινώντας από τη βάση όπου ήταν ο μίσχος, και πηγαίνοντας κυκλικά μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή.


Φωτογραφία JJ Harrison


Η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στις βελόνες αρκετών ειδών έλατου, τα φύλλα της λεύκας, της κερασιάς, της μηλιάς, της δαμασκηνιάς, της βελανιδιάς και της φιλύρας, στη διάταξη των πετάλων της μαργαρίτας και του ηλιοτρόπιου.

Τη βλέπουμε στην επιφάνεια των κορμών των κωνοφόρων δέντρων και στουςδακτύλιους των κορμών των φοικικόδεντρων.



Φωτογραφία RDBury


Στη φωτογραφία παραπάνω βλέπετε ένα μικρό χαμομήλι. Τα πέταλα που βρίσκονται στο κέντρο του λουλουδιού σχηματίζουν σπείρες, σύμφωνα με τη ακολουθία Φιμπονάτσι.

Υπάρχουν 21 πιο σκούρες μπλε σπείρες και 13 σπείρες με τυρκουάζ χρώμα. Το 13 και το 21 είναι διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci.
Το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci. Το ίδιο και το κέλυφος του ναυτίλου (μαλάκιο).

Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο είναι ότι το κέλυφος του ναυτίλου αναπτύσσεται σε τρισδιάστατες σπείρες, ενώ το κέλυφος των σαλιγκαριών αναπτύσσεται σε δισδιάστατες σπείρες.




\Φωτογραφία Chris 73

Η ακολουθία εφαρμόζεται στο σώμα του δελφινιού, στον αστερία και στο ανθρώπινοσώμα. Η αναλογία του μήκους του πήχη του χεριού προς το μήκος του χεριού ισούται με 1.618, δηλαδή ισούται με τη Χρυσή Αναλογία.

Η αναλογία μεταξύ του μήκους και του φάρδους του προσώπου και η αναλογία του μήκους του στόματος προς το φάρδος της μύτης είναι μερικά ακόμα παραδείγματα της εφαρμογής των αριθμών αυτών στο ανθρώπινο σώμα.

Σίγουρα, αυτός ο συνδυασμός φύσης και μαθηματικών δεν είναι τυχαίος!!

Άραγε, τα μαθηματικά αντιγράφουν τη φύση ή η φύση τα μαθηματικά;

Δεν συμφωνείτε όμως μαζί μου ότι είναι εκπληκτικός ο τρόπος που συνδυάζονται, όπως και το αποτέλεσμα;

Η ακολουθία Φιμπονάτσι στα ηλιοτρόπια και η δικαίωση του Άλαν Τούρινγκ

Το μεγαλύτερο ερευνητικό πρόγραμμα μελέτης μαθηματικών διατάξεων στα άνθηαπέδειξε ότι στη φύση συναντώνται μαθηματικές ακολουθίες.

Στο πλαίσιο του προγράμματος, που πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Μουσείου Επιστήμης και Βιομηχανίας του Μάντσεστερ, εκατοντάδες εθελοντές σε όλο τον κόσμο καλλιέργησαν ηλιοτρόπια.

Η επιστημονική έρευνα στηρίχθηκε στη θεωρία του παγκοσμίου φήμης Bρετανού μαθηματικού, καθηγητή λογικής και κρυπτογράφου Άλαν Μάθισον Τούρινγκ (1912-1954), ο οποίος θεωρείται πατέρας της επιστήμης των υπολογιστών και απέδειξε ότι οι σπείρες που σχηματίζουν οι σπόροι στα άνθη αναπαράγουν μαθηματικά μοντέλα.

Για τους σκοπούς του προγράμματος συλλέχθηκαν στοιχεία από 557 ηλιοτρόπια από επτά χώρες.

Το 82% των λουλουδιών ακολούθησε περίπλοκες μαθηματικές δομές, συμπεριλαμβανομένης της ακολουθίας Φιμπονάτσι, στην οποία ο κάθε αριθμός αποτελεί άθροισμα των δύο προηγούμενων (0,1,1,2,3,5,8,13,21 κ.ο.κ).

Ο Τούρινγκ και οι επιστημονικοί επίγονοί του προσπάθησε να αποδείξει ότι οι σπείρες στα ηλιοτρόπια αναπαράγουν την ακολουθία Φιμπονάτσι.

Τώρα, μαθηματικοί και βιολόγοι θα συνεργαστούν για να κατανοήσουν εις βάθος τις προεκτάσεις των μαθηματικών δομών στους φυτικούς οργανισμούς.
Το πείραμα

Εκατοντάδες εθελοντές δέχθηκαν να συμμετάσχουν στο πρόγραμμα «Τα Ηλιοτρόπια του Τιούρινγκ», του οποίου ο δικτυακός τόπος ζητά από το κοινό να καλλιεργήσει ηλιοτρόπια και να μετρήσει τις σπείρες που σχηματίζουν οι σπόροι δεξιόστροφα και αριστερόστροφα.

Τα αποτελέσματα δεν έχουν ακόμα υποβληθεί για έλεγχο και επιστημονική δημοσίευση, δείχνουν όμως να επιβεβαιώνουν τον Τιούρινγκ.

Όπως αναφέρει από το φεστιβάλ στο Μάντσεστερ η Έιμι Φρίμπορν του Yahoo UK!, η ανάλυση των μετρήσεων σε 557 ηλιοτρόπια σε επτά χώρες δείχνει ότι ο κώδικας Φιμπονάτσι εμφανίζεται στο 82% των περιπτώσεων.

Το ενδιαφέρον είναι ότι σε 26 ηλιοτρόπια παρατηρήθηκαν διπλές αλληλουχίες Φιμπονάτσι, και 33 άλλες περιπτώσεις εμφάνιζαν την αλληλουχία Λούκας.

Η αλληλουχία αυτή είναι παρόμοια με του Φιμπονάτσι, με την έννοια ότι κάθε αριθμός είναι άθροισμα των δύο προηγούμενων, ωστόσο ξεκινάει ως 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29 κ.ο.κ.

Το ανορθόδοξο ανοιχτό πείραμα διοργανώθηκε από το Φεστιβάλ Επιστήμης του Μάντσεστερ και το Μουσείο Επιστήμης και Βιομηχανίας του Μάντσεστερ, προκειμένου να τιμήσουν τον ένα αιώνα από τη γέννηση του Τιούρινγκ.

Ποιος ήταν ο Άλαν Τούρινγκ

Ο Άλαν Τούρινγκ είχε τεράστια συμβολή στη νίκη των συμμαχικών δυνάμεων επί των Γερμανών κατά τον Β’ Παγκόσμιο Πόλεμο, καθώς είχε κεντρικό ρόλο στην αποκωδικοποίηση της Γερμανικής κρυπτογραφικής συσκευής Enigma.

Η εργασία του Τούρινγκ κρατήθηκε μυστική μέχρι τη δεκαετία του ’70, ακόμη και οι στενοί φίλοι του δεν την ήξεραν.

Συνέβαλε με διάφορες μαθηματικές ιδέες για την αποκρυπτογράφηση μηνυμάτων των συσκευών Enigma και Lorenz SZ 40/42.

Στο Μπλέτσλεϊ Παρκ ο Τούρινγκ εργάστηκε από το 1939 ως το 1940 όταν και μετακινήθηκε προς την Ομάδα 8.

Ο Τούρινγκ συνειδητοποίησε ότι δεν ήταν απαραίτητο να εξεταστούν όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί για να σπάσουν τους κωδικούς της μηχανής Enigma.

Απέδειξε ότι ήταν δυνατό να εξετάσει τις σωστές τοποθετήσεις των διακοπτών (περίπου ένα εκατομμύριο συνδυασμοί) χωρίς να πρέπει να εξεταστούν οι τοποθετήσεις του πίνακα συνδέσεων (περίπου 157 εκατομμύριο συνδυασμοί).

To γεγονός αυτό εκτιμάται ότι έσωσε εκατομμύρια ζωές και συνέβαλε στην ταχύτερη πτώση του Χίτλερ

Μετά τον πόλεμο, ο Τούρινγκ ασχολήθηκε με το θέμα της τεχνητής νοημοσύνης (αν δηλαδή μια μηχανή μπορεί να θεωρηθεί ότι γνωρίζει και μπορεί να σκεφτεί) και πρότεινε ένα πείραμα γνωστό σήμερα ως δοκιμή Τούρινγκ για τον καθορισμό των κριτηρίων της:

Ένας υπολογιστής είναι πράγματι νοήμων αν και μόνο αν κάποιος άνθρωπος δεν μπορεί να καταλάβει τη διαφορά ανάμεσα στις απαντήσεις του και σε αυτές ενός άλλου ανθρώπου σε γενικές ερωτήσεις.

Επίσης, με την καθολική μηχανή Τούρινγκ παρείχε μια επίσημη έννοια του αλγορίθμου και των υπολογίσιμων αριθμών διατυπώνοντας την ευρέως αποδεκτή έκδοση Τούρινγκ, ότι δηλαδή οποιοδήποτε πρακτικό πρότυπο υπολογισμού έχει είτε ένα ισότιμο είτε ένα υποσύνολο των ικανοτήτων μιας μηχανής Τούρινγκ.

Αργότερα σχεδίασε έναν από τους πρώτους ηλεκτρονικούς προγραμματίσιμους ψηφιακούς υπολογιστές στο εθνικό φυσικό εργαστήριο. Το Βραβείο Τούρινγκ που θεωρείται ως το αντίστοιχο του Νόμπελ στον κόσμο των υπολογιστών δημιουργήθηκε προς τιμήν του.

Ο Τούρινκ έπεσε θύμα της ανθρώπινης βλακείας και μισαλλοδοξίας καθώς το 1952 υποχρεώθηκε σε ορμονικής θεραπείας για τη μείωση της λίμπιντο, εξαιτίας της ομοφυλοφιλίας του.

Επέλεξε τις εγχύσεις ορμονών οιστρογόνων, οι οποίες διήρκεσαν ένα έτος, με παρενέργειες όπως η ανάπτυξη στήθους.

Το 1954 πέθανε από δηλητηρίαση από κυάνιο, προφανώς από ένα μήλο που άφησε μισοφαγωμένο και περιείχε κυάνιο.

Ανακαιφαλαίωση:

Ο αριθμός 1,618 ως τώρα περνούσε απαρατήρητος χωρίς να γνωρίζουμε την πολυσχιδή εφαρμογή του.

Ωστόσο διαπιστώνουμε ότι η εφαρμογή του ξεκινά από την αναλογία της φύσης, του προσώπου μας, του σώματός μας...περνά στην τέχνη, στους ζωντανούς οργανισμούς και πολλά άλλα που πιθανόν να μην έχουν παρατηρηθεί.

Αν μετρήσεις τις μέλισσες σε μια κυψέλη οπουδήποτε στον κόσμο θα παρατηρήσεις ότι η αναλογία των θηλυκών προς των αρσενικών μελισσών καταλήγει πάντα σε έναν αριθμό...

Αν μετρήσεις την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι το πάτωμα και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός...

Αν μετρήσεις την απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός...

...ο αριθμός αυτός είναι ο 1,618 ή ο γνωστός αριθμός φ!!!

Μήπως τελικά είχε δίκιο ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι που πίστευε στη Θεία Αναλογία?

Πόσοι από εσάς ακόμα πιστεύουν στις συμπτώσεις?

Πηγές:
http://argolikeseidiseis.blogspot.gr/2012/08/blog-post_4832.html
http://thesecretrealtruth.blogspot.com/2011/09/blog-post_7670.html#ixzz1YnFbqkkb
greeksurnames , aoratos-naos,enneaetifotos
http://history-pages.blogspot.gr/2012/08/1618.html
http://biographies.nea-acropoli.gr/index.php?option=com_content&view=article&catid=6:mathimatika&id=24:-1170-1240-leonardo-pisano-fibonacci&Itemid=17
http://aksioperierga.blogspot.gr/2012/09/blog-post_9.html
http://portal.kathimerini.gr/4dcgi/_w_articles_kathextra_100166_21/10/2006_168848
http://www.econews.gr/2012/11/02/fibonacci-iliotropia-alan-turing/
http://www.tovima.gr/science/technology-planet/article/?aid=482153
http://www.techgear.gr/alan-turing-100-years-47174/
http://thepla-net.blogspot.gr/2011/04/blog-post_7036.html
http://1618xt.blogspot.gr/2012/06/blog-post_7029.html
Το διάβασα στο athamastos.blogspot.gr

https://www.ploumistos.com/